七年級下學期的數學中，學生很多都重點關注全等三角形和變量，認為這是重點又是難點。往往會略軸對稱和等腰三角形這一部分，認為知識點少且一目了然，節本上的題目也非常簡單，複習的時候一帶而過。
其實，在七年級下冊的數學知識中，軸對稱和等腰三角形部分後續的應用和考察方式靈活多樣，且可以和相似、四邊形、圓、一次函數、反比例函數、二次函數等知識綜合靈活的結合在一起，是最值問題的一個重要解決策略。並且學生最覺得難做的摺疊問題，其本質也是軸對稱。
本篇文章在課本基礎上，拓展知識和題型，讓學生更全面深入的了解軸對稱和等腰三角形的知識和，滲透數學思想方法，提高數學素養，為今後學習打下良好的基礎。本篇內容因內容難度較大，建議學有餘力的學習練習。
一、核心知識
1.軸對稱圖形和兩圖形成軸對稱：
如果把一個圖形沿某條直線對摺，對摺的兩部分是完全重合的，那麼就稱這樣的圖形為 軸對稱圖形，這條直線叫做這個圖形的對稱軸。
把一個圖形沿著某一條直線翻折過去，如果它能夠與另一圖形重合，那麼就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸，兩個圖形中的對應點叫做對稱點。
軸對稱圖形是對兩個圖形而言，而成軸對稱是 一個圖形之間的關係，如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那麼它又可看成是一個軸對稱圖形。
2.軸對稱的性質：成軸對稱的兩個圖形 全等；成軸對稱的兩個圖形對應點連線被對稱軸 ；
3. 有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形；三條邊都相等的三角形叫做 等邊三角形。
4.等腰三角形的性質：
性質1：等腰三角形的兩個兩邊 相等
性質2：等腰三角形的三線合一
等腰三角形是軸對稱圖形
5. 等腰三角形的判定：
如果一個三角形有兩個相等，那麼這兩個角所對的邊也相等
6.等邊三角形的性質：
（1）等邊三角形是軸對稱圖形，且有三條對稱軸；
（2）等邊三角形的各角相等且每一個角都等於60度；
7.等邊三角形的判定：
（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形．
（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形．
（3）有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形．
8. 與對稱構造有關的直角三角形的性質：
性質一：「在直角三角形中，30°的銳角所對的直角邊等於斜邊的一半」
性質二：「在直角三角形中，如果一條直角邊等於斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的銳角等於30°」
二、題型分析
（一）、軸對稱性質的簡單應用
【例1】如圖1，把△ABC紙片沿DE摺疊，當點A落在四邊形BCED內部時，則∠A與∠1＋∠2之間有一種數量關係始終保持不變，請你試著找一找這個規律，你發現的規律是（ ）
A．∠A =∠1＋∠2 B．2∠A =∠1＋∠2
C．3∠A =∠1＋∠2 D．3∠A =2（∠1＋∠2）
【點撥】考慮把圖形還原，則折起的部分與折起前是什麼關係呢？
【反思與小結】根據問題的某些特徵，運用軸對稱思想去添加輔助線，把已知圖形的部分或全部補為軸對稱形，再利用軸對稱性質，常常能較易地從圖形各元素的對應關係發現其間的內在聯繫，找到解題的思路．
（二）、利用軸對稱設計圖案
【例2】如圖是由三個小正方形組成的圖形，請你在圖中補畫一個小正方形，使補畫後的圖形為軸對稱圖形.
【點撥】小正方形本身就是軸對稱圖形，而且有四條對稱軸，觀察圖中三個小正方形組成的圖形不是軸對稱圖形，至少需要增畫一個小正方形才能組成軸對稱圖形，思考正方形的對稱軸有幾條？如何應用對稱軸增畫一個小正方形使其組成一個軸對稱圖形？
【反思與小結】每個正三角形有三條對稱軸，每個正方形有四條對稱軸，每個正邊形有條對稱軸。本題利用正方形有四條對稱軸，分別添畫一個正方形使其變成軸對稱圖形，實際上就是根據正方形四條的對稱軸進行添畫。
【舉一反三】如圖甲，正方形被劃分成16個全等的三角形，將其中若干個三角形塗黑，且滿足下列條件：
（1）塗黑部分的面積是原正方形面積的一半；
（2）塗黑部分成軸對稱圖形．
如圖乙是一種塗法，請在圖1～3中分別設計另外三種塗法．（在所設計的圖案中，若塗黑部分全等，則認為是同一種塗法，如圖乙與圖丙.）
【解答】
【反思與小結】此類問題主要是利用正方形的軸對稱性性質，根據具體要求分類探究。
（三）、軸對稱變換與最短路程
【例3】最短路程畫圖
問題一：如圖1，點A、點B在直線的兩側，在直線上畫一點P，使得PA+PB最小
問題二：如圖2，點A、點B在直線的同側，在直線上畫一點P，使得PA+PB最小
問題三：如圖3，在∠AOB內部有一個點定點P，能否分別在OA、OB上畫一個點M、N，使得△PMN的周長最小？
若∠AOB=30°，OP=10，求△PMN周長的最小值？
【點撥】（1）思考能否應用線段的性質進行解答？
【解答】
【反思與小結】對於（1）主要是應用線段的性質進行解答；對於（2）是如何應用對稱將將七轉化為（1）？對於解決（3）中兩個動點的問題的策略是令其中的一個動點M（或N）固定，找到合適的點N（或M），再讓動點M（或點N）運動，找到合適的答案。也就是說：將（3）轉化為問題（1）、（2）的情形。例3是求「最短路程」的重要模型，一定要注意總結歸納提升。
【舉一反三（1）】最短路程畫圖：
從A到B地需要穿過一條河，而河的寬度為，由於經濟方面的思考，建造過河的橋要垂直於河的兩岸（河的兩岸平行），請設計行走路線，使所走的線路的長度最短？
【點撥】對於圖1，利用兩點之間線段最短容易解決；對於圖2，實際行走是「地面上陸地——橋——地面上的陸地」，對於地面上的路可行走直線段，而對於橋，需要走河的寬度，由於是在紙上設計行走路線，能否先走河的寬度，再走陸地上的直線段？那麼如何設計線路？
【解答】
【舉一反三（2）】直線⊥，點B在直線上，點C在直線上，A、D是平面上的固定點，請設
計點B、C使得四邊形ABCD的周長最小？
【舉一反三（3）】最短路程畫圖 如圖，從A地到B地需要穿過兩條河，而河的寬度分別為、，由於經濟方面的思考，建造過河的橋要垂直於河的兩岸（河的兩岸平行），請設計行走路線，使所走的線路的長度最短？
【點撥】能否仿照上題的（2）思考？如何設計？
【舉一反三（4）】在正△ABC中，BD⊥AC於D，點N在BC上運動，點M在BD上運動，如何設計M、N才能使得CM+MN最短？
（四）、軸對稱性質應用與特殊圖形面積的求法
【例4】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=a，求△ABC的面積值
【點撥】思考一：要求，需要知道△ABC的底與高，而條件中已知斜邊，能否求出斜邊上高？
思考二：兩個△ABC會組成怎樣的圖形？能否求出它的面積？四個△ABC會組成怎樣的圖形？能否求出它的面積
【反思與小結】兩個全等的等腰直角三角形組成一個大的等腰直角三角形，四個全等的等腰直角三角形能組成一個正方形，而正方形的邊就是直角三角形的斜邊，容易求出其面積。本題實際上是利用等腰直角三角形和對稱的性質進行構造與轉
（五）、簡單軸對稱圖形的構造
【例5】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，求證：BC=AB
【點撥】思考一：要證：BC=AB，也就是證明AB=2BC，如何構造2 BC，能否應用對稱法構造2 BC？
思考二：要證：BC=AB，其中∠A=30°，得到∠B=60°，能否以∠B為其中的一個角構造等邊三角形進行證明？
【舉一反三】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB，
求證：∠BAC=30°，
【點撥】思考一：由已知條件BC=AB，能否應用對稱法構造2 BC？
思考二：要證明∠A=30°，只要證明∠B=60°問題解決，
能否以∠B為其中的一個角構造等邊三角形進行證明？
【反思與小結】要證明倍分問題，一般是採取「加倍法」和「折分法」；本題實際上直角三角形的兩個重要性質的證明。
性質一：「在直角三角形中，30°所對的直角邊等於斜邊的一半」
性質二：「在直角三角形中，若一條直角邊等於斜邊的一半，則這條直角邊所對的銳角等於30°」
在證明這兩條性質時應用了對摺構造的方法。
【例6】如圖，在△ABC中，AD⊥BC於D，∠B=2∠C，求證：AB十BD＝CD
【點撥】要證AB十BD＝CD．能否應用「截長補短」？如何「截長」？如何「補短」？
【反思與小結】本題實際上應用了對稱變換。通過對稱，將某些元素相對集中，從而易於問題的解決。
【例7】在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，，過點C作CE⊥AB於E，並且AE=1/2（AB+AD），
求證：∠D+∠ABC=180°
【點撥】由已知AC平分∠DAB，能否利用角平分線構造對稱圖形，通過對稱的性質探究解法？
【反思與小結】角平分線所在直線是角的對稱軸。通過角平分線所在直線構造對稱圖形，利用軸對稱圖形的性質解答問題，是一種重要輔助線的構造方法。本題利用角平分線，構造全等進而解決問題。
【舉一反三】在△ABC中，AD平分∠BAC，M為BC的中點，DM⊥BC於M，
若AB=10，AC=6，DE⊥AB於E，DF⊥AC於F，
①求證：△ADE≌△ADF，②求證：△BDM≌△CDM，③求AE的長度；
【點撥】對於①、②，由角平分線和垂直平分線的對稱性容易得到；
對於③要求AE的長，已知AB、AC的長度，
由全等三角形的性質能否得出AB、AC、AE、AF之間關係？
有何關係？
【反思與小結】角平分線所在直線是一個角圖形的對稱軸。利用角平分線可以構造全等三角形，可以得到線段、角之間的關係。本例是利用角平分線構造全等三角形，從而得到角、線段之間的關係。
【例8】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上的點，AE⊥DE交BD的延長線於點E，且AE=
求證：BD平分∠ABC
【點撥】要證明：BD平分∠ABC，發現圖形給人以「不完整」的感覺，能否將圖形成「完整圖形」通過構造全等給以證明？
【反思與小結】本題在證明BD平分∠ABC時所構造的輔助線，實際上是在分析的基礎上，利用軸對稱構造全等三角形進行解答。
三、總結與積累
在軸對稱變換下，圖形上兩點間的距離、角度、面積等保持不變，而這種變換在現實生活中有著廣泛的應用和豐富的文化價值.同時通過這種變換，可以使相關的元素相對集中，從而構造新圖形，在解決問題中起著出奇制勝的效果. 等腰三角形是以頂角平分線所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，等腰三角形的「兩底角相等」、「三線合一」等性質是幾何證明和計算的重要依據.善於發現、構造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質為解題服務是解幾何題的常用技巧.