行列式的「拉普拉斯定理」(Laplace定理)

      各位晚上好，之前介紹過行列式中按照某一行和某一列交叉獲取的數字作為研究對象，本文就再進一步，按照多行多列的方式展開行列式，對其進行計算。

       先介紹一些基本概念：

       1.子式

           在n階行列式D中，任意取定k行k列(1<=k<=n)，位於這些行和列交叉處的k^2個元素，按照原來的順序構成一個k階行列式M，稱為D的一個k階子式，記為M。

      2. 餘子式

          划去這k行k列，餘下的元素按照原來的順序構成一個n-k階行列式，稱為M的餘子式，記為N。

     3. 代數餘子式

         在M的餘子式，即N前冠以符號(-1)^(i1+i2+...+ik+j1+j2+...+jk)，稱為M的代數餘子式。其中i1、i2、...j1、j2、...jk分別為k階子式在D中的行標，列標。代數餘子式記做A。

        舉個例子，請看：        

在此行列式上選擇1、3行與2、4列，得到一個二階子式

，則該子式M的餘子式為：

，進一步可以得到M的代數餘子式為：

有了這些概念，就可以介紹著名的「拉普拉斯定理」了：

在n階行列式D中任意取定了k行(或k列) (1<=k<=n-1)，由這k行(列)元素組成的所有k階子式與它們的代數餘子式的乘積之和等於行列式D。

即：D=M1A1 + M2A2 + ...MtAt,其中t=

好了，今天的內容就到這裡，各位，加油！

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