本文將對行列式的由來和一般運算法則進行詳細講解，這裡面包括很多同學都不甚理解的逆序數。小編在此多說一句，存在即合理，任何一個概念的提出都是基於現實或理論上的需要，只有把握了這種內在需求，才能在整個線代的前後知識模塊之間建立清晰地邏輯框架。
1.線性方程和非線性方程
線性方程就是方程的每一項均為常數與原變量（即形如ax）的乘積，線性方程有時亦稱為一次方程。比如下面的方程均為線性方程：
(1)是一元一次方程，(2)是三元一次方程。
非線性方程就是變量的冪不為1的方程。比如下面的方程均為非線性方程：
圖1顯示了線性方程和非線性方程的區別。
線性方程組就是全由線性方程構成的方程組。
非線性方程組就是不全由線性方程構成的方程組。
圖2顯示了線性方程組和非線性方程組的區別：
2.多次方程
小編在這裡還要介紹一個概念，就是多次方程，多次方程屬於非線性方程。
第1節中提到的方程xy=1不是線性方程，這是因為雖然變量x和y的冪均為1，但是變量x和y是以乘積的形式組合在一起，因此得將xy視為一個整體的變量，這個整體變量的冪是變量x的冪與變量y的冪的和。因此方程xy=1是二次方程。
但是一定要切記，討論一次或多次方程時，各個變量的冪必須是整數。比如下面的方程就不能認為是二次方程，而就是非線性方程。
那麼下面的方程是幾次方程呢？
在判斷方程是幾次方程時，一定要看能否化簡。方程(1)可以通過移項操作，最後得出的是有約束條件的一次方程。方程(2)通過化簡，可以得出是一次方程x=4。
3.行列式的由來
在大家對方程的類型有了一定的了解後，那麼接下來可以聊聊行列式的由來了。
行列式概念是從解決線性方程組的過程中提出來的。而這個線性方程組有個特點，那就是方程的個數與變量的個數相等。
首先看二元一次線性方程組：
在不考慮參數的具體取值情況下，可以得出變量的解的形式如下：
如果採取下面這種標記法，即行列式：
則方程的解可表示為。
通過設定這樣的規則，方程組的解的形式有了一定的規律。
那麼很自然地可以推廣到n元方程組。即對於如下n元方程組：
n元方程組的解的形式如下：
採用行列式對線性方程組的解進行標記很方便，但是如何對行列式設定運算法則呢？
比如函數f(x)=x+4，對於x的每個值，函數f(x)的運算法則，就是在x原值基礎上加4。 那麼對於行列式而言，當給定一組排列有序的數據後，如何在這組數據上施加運算法則？
二階、三階行列式，可以簡單地通過沙路法得到結果，如下所示：
在上方的三階行列式中，小編只標記了正項的元素。
沙路法適用於二階和三階行列式的計算，但是不適用於四階及以上的行列式。那麼對於行列式，有沒有通用的運算法則呢？
4.行列式的運算法則
對於n階行列式，科學家歸納出來一個運算法則，如下所示：
對於上述運算法則，小編接下來進行詳細地解釋。
何為1，2，…，n的一個全排列？
為了方便解釋，不妨考慮n=4的情況。此時1234就是一個全排列，2134也是一個全排列。也就是說，全排列就是所有元素都參與且只參與一次的排列！
那麼對於1到n的n個數，有多少個不同的全排列呢？這就涉及到高中所學過的排列組合知識了。總共有n！個不同的全排列，由下式得出。
因此，對於n階行列式，在計算公式中，總共有n！項。
現在要考慮對於這n！個項的每一項來說，前面的係數是1還是-1呢？這就是計算公式中涉及到的逆序數。
同樣以n=4為例進行說明。
{1,2,3,4}的一個全排列為2143。從左往右，一個一個數字看。2依次與位於其後的數字相比，若2大於該數字，則為2的一個逆序。顯然，在全排列中，2的逆序為1。同理可得，1的逆序為0；4的逆序為1；3的逆序為0。因此全排列2143的逆序數=1+0+1+0=2。
大家判斷下4321的逆序數是多少呢？
相信大家已經理解了全排列和逆序數。那回到n階行列式的計算公式中，該公式的意思就是，從第1行至第n行分別取出一個數，並且這些數的列索引是1,2,…,n的一個全排列，根據這個規則，總共有n!個項。每一項的正負號由對應的列索引的全排列決定。
小編以三階行列式來說明。
第一行取1，第二行取5，第三行取9，則列索引分別為1,2,3是{1,2,3}的一個全排列。
但如果第一行取1，第二行取4，第三行取9，則列索引分別為1,1,3，不是1,2,3的一個全排列，因此這種取法不對。
大家根據這種思路，採用行列式的通用計算公式來計算上面這個行列上吧，並與三階行列式的沙路法進行比較，看看結果是不是一樣的。