理論力學剛體的定點轉動

2021-01-09 建設工程教育網

剛體上各點都在以某一定點為球心的球面上運動。

在運動過程中有一點永遠保持不動。我們可取這個固定點為上述兩個坐標系的公共原點，坐標軸之間的夾角則可以任一改變。可以證明，在這種情況下，剛體從一個初位置運動到任意一個新位置時，恆可通過三個獨立的角坐標來表示。設t=0時，坐標系oxyz和ox.y.z.重合，如圖4.4（a）；在時刻t，坐標系oxyz運動到一個新位置，如圖4.4（d）。這個運動可以看作三個獨立的轉動合成。首先，令oxyz平面繞oz.軸轉過一個角度φ，使ox軸達到圖4.4（d）中oxy平面和ox.y.平面的交線on的位置，變為ox『y』z『如圖4.4（b）。交線on稱為節線。其次，使oy』z『平面繞節線on轉過角度θ，使坐標軸達到新位置ox「y」z「，使oz」軸和圖4.4（d）中oz軸位置重合。最後，令ox「y」平面繞oz「軸轉過角度φ，使坐標軸達到圖4.4（d）中的最終位置。

上述φθ？三個角坐標稱為歐拉角，φ稱為進動角，θ稱為章動角，？稱為自轉角，這三個角度的變化範圍為：

0≤φ≤2π，0≤θ≤π，0≤ψ≤2π。

從上面的討論可知，作定點轉動時，剛體在空間的任一位置可有三個歐拉角唯一確定，所以三個歐拉角就是剛體定點轉動的廣義坐標。但是這種描述方法不是唯一的。例如我們也可以把剛體定點轉動看成是轉動軸oz方向可以任意變化的定軸轉動。要確定oz軸的方向，可用球坐標的餘緯角θ和經度角φ來表示，在加上繞軸oz的轉角ψ，它們同樣可以唯一的確定剛體在空間的位置，也是廣義坐標，這三個角坐標和三個歐拉角並不完全一樣，其中θ和ψ是一樣的。但兩者的φ並不一樣。

責任編輯：芊墨

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