牛頓-萊布尼茨公式的解讀和應用

2021-03-01 浮生的電氣感悟

牛頓-萊布尼茨公式的解讀和應用

數學是工具，必須有足夠的水平，才能在專業水平上有更好的發展。 

從定積分的幾何意義，可以看出，微積分可以計算面積，可以進一步延伸，計算各種物理量。而牛頓和萊布尼茨兩個數學家在17世紀七八十年代分別獨立搞出的這個公式，大大簡化了這個定積分的計算，現在被稱為牛頓-萊布尼茨公式。

計算面積，在初等數學當中有固定公式。例如三角形，矩形，梯形，正方形，菱形，圓形等形狀的面積公式，我們都非常熟悉。如果正玄波和X軸所夾面積，y=x與y=x²兩條線所夾的面積，就不好用初等數學的方法來計算了，常規的方法就是微積分了，比較輕鬆的就出來了。微積分的理念就是先分成多個很微小的部分，每個小部分近似成初等數學當中的一個形狀，計算，再疊加，就是積分。總結出一套規律，就是微積分的很多性質。而牛頓-萊布尼茨公式出現之前，這個計算就比較繁瑣。

當然，微積分裡面也涉及了一些極限和連續的概念。有很多常見內容是可以推導的，例如圓周率π，可以通過圓的內接正六邊型近似計算圓的面積，進一步12,24,48,96……最終無限大之後，跟圓的面積就相等了，我國古代通過實測確定了近似值，公元3實際，數學家劉徽（公元225-295）把π計算到了3.1416，他認為之前的3.14精確度不夠，所以繼續計算了，而方法跟現在大學教材高等數學的極限理念是一樣的，而同濟版大學教材也很直接的說了，這個極限跟那個時代的理念是一致的。

劉徽（被稱為中國的牛頓）的割圓術，是中國古代數學中一個非常精彩的算法，這是極限概念，而且是雙向迫近。200年後的祖衝之（公元429-500），是按劉徽的方法計算到3.1415926和3.1415927之間的。因為劉徽覺得3.1416就足夠工程精度需要了，沒有繼續計算，他的方法本身是可以無限計算下去的，精度會無限提高，但當時只是按最基本的勾股定理計算疊加，計算量很大。

文章本天成，妙手偶得之。

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  • 微分意義,積分意義,牛頓-萊布尼茨公式
    從17世紀開始，隨著社會的進步和生產力的發展，以及如航海、天文、礦山建設等許多課題要解決，數學也開始研究變化著的量，數學進入了「變量數學」時代，即微積分不斷完善成為一門學科。整個17世紀有數十位科學家為微積分的創立做了開創性的研究，但使微積分成為數學的一個重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。從微積分成為一門學科來說，是在17世紀，但是，微分和積分的思想早在古代就已經產生了。
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    英國科學家牛頓，一生集，物理，天文，數學大成，跟德國科學家萊布尼茨幾乎同時發現了微積分，因此，微積分的基本公式又叫牛頓萊布尼茨公式。當然了，牛頓晚期，其公司，坑過諸多絕世天才，如，特斯拉，一生諸多發明，是在其財力下，其它科學家的功勞，當最後都歸集於其下，所以後期的牛頓就是個生意人，本小神懷疑就是微積分都是其花錢掛名，而另有其人發明的，因為它的一句經典名言：如果說我比別人看的遠些，那是因為我站在巨人的肩膀上。這個巨人指的是誰？牛頓沒說，也不願意說，總之，有盜名嫌疑。
  • 牛頓和萊布尼茨，誰才是真正的微積分之父？
    而微積分就是應用在這些需要動態計算的領域，包括物理學、工程學、經濟學等學科。誰發明了微積分現在，我們認為微積分是由牛頓和萊布尼茨共同發明的，因此，微積分的基本定理也被稱為牛頓-萊布尼茨公式。但是，在1907年的時候，英國數學界和德國數學界卻發起了一場爭論：到底誰是第一個發明微積分的人？
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  • 微積分到底是牛頓發明還是萊布尼茨發明
    牛頓-萊布尼茨公式，大家耳熟能詳。但是，微積分到底是誰最先發明的呢？這就不得不提起兩個偉大的科學家，牛頓和萊布尼茨。針對是誰最先發明微積分的問題，在歷史上，曾引起一場在英國數學家和歐洲大陸數學家之間的軒然大波。
  • 牛頓與萊布尼茨的微積分之爭,牛頓到底做了什麼?
    後人在萊布尼茨的手稿中發現他曾經抄錄牛頓關於流數術的論文的段落，並將其內容改用他發明的微積分符號表示。這個發現似乎對萊布尼茨不利。但是，我們無法確定的是，萊布尼茨是什麼時候抄錄的？如果是在他創建微積分之前，從某位英國數學家那裡看到牛頓的手稿時抄錄的，那當然可以做為萊布尼茨剽竊的鐵證。但是他也可能是在牛頓在1704年發表該論文時才抄錄的，此時他本人的有關論文早已發表多年了。
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    眾所周知，牛頓對萬有引力作出的貢獻是毋庸置疑的。我們只看到了牛頓的偉岸形象，而光環下的人性我們從未謀面，那些豐功偉績，我們暫且不論。來看看牛頓與胡克、萊布尼茨之間的「恩怨情仇」。牛頓是家喻戶曉的科學家，作為同時代的人物，胡克的名氣雖然沒有牛頓的大，但是，在科學方面的見解也非常有建樹的。據了解，在引力的發現前期，胡克先發現引力的大小和距離的平方成反比這一重要理論，並且毫不猶豫的把這一觀點跟牛頓分享，並且得到牛頓的認可。後來，牛頓無情地拒絕了胡克希望其在萬有引力定律上提名的要求。
  • 牛頓和萊布尼茨都說是自己
    加上英國皇家學會的成員對牛頓有一種盲目的自信和崇拜，於是在1699年，英國皇家學會的成員指控萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，單方面下定結論，認為牛頓才是微積分的「第一發明人」。這場微積分爭論在1711年全面爆發，並破壞了牛頓與萊布尼茨各自的生活，直到萊布尼茨在1716年逝世。
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    不過這都是旁觀者的看法，屬於看熱鬧不嫌事大的那種，對於當事人來說，還是獨步江湖更好一點，比如愛因斯坦和玻爾就吵了半輩子，甚至影響了科學的發展，不過兩人都還沒有君子之風，只是學術爭論，沒有上升到人身攻擊。可是對於萊布尼茨和牛頓來說就不是這麼回事了。
  • 牛頓不娶我也不娶,十七世紀的亞里斯多德,萊布尼茨
    現今在微積分領域使用的符號仍是萊布尼茨所提出的。在高等數學和數學分析領域，萊布尼茨判別法是用來判別交錯級數的收斂性的。萊布尼茨與牛頓誰先發明微積分的爭論是數學界至今最大的公案。1712年英國皇家學會成立了一個委員會調查此案，1713年初發布公告：「確認牛頓是微積分的第一發明人。」萊布尼茨直至去世後的幾年都受到了冷遇。由於對牛頓的盲目崇拜，英國學者長期固守於牛頓的流數術，只用牛頓的流數符號，不屑採用萊布尼茨更優越的符號，以致英國的數學脫離了數學發展的時代潮流。
  • 劉慈欣為何在《三體》中黑牛頓?因為牛頓做過這兩件事!
    從小咱們就聽說過牛頓和蘋果樹的故事，中學時又學了三大規律和萬有引力，大學階段還會接觸到牛頓光學及牛—萊微積分公式，咱們對牛頓的形象往往是：經典力學的樹立者，一個接近於神的男人。可是，讀過《三體》的朋友卻會發現，劉慈欣在書中把牛頓描繪成了一個卑鄙的小人。
  • 積分上限函數與牛頓萊布尼茲公式
    二  牛頓-萊布尼茨公式（微積分基本公式）如果 f(x) 是[a,b]上的連續函數，並且有 F′(x) = f(x) , 那麼牛頓-萊布尼茨公式是連接不定積分和定積分的橋梁，通過這個公式我們知道要求定積分，先求出不定積分，再把上下限分別代入計算，並求差。因此求定積分的方法和求不定積分的方法基本一致。
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    萊布尼茨是我非常尊敬的一個科學家，不僅僅因為他的科學成就，更因為他的廣闊胸襟、他的人品和他的樂觀主義。萊布尼茨的父親是一個大學教授，但是父親在他6歲的時候就過世了，只給他留下了一個小圖書館。萊布尼茨是一個樂天派，在心理學和哲學領域也有很高的造詣，他信奉樂觀主義，主張樂觀主義，更重要的是他執行樂觀主義。
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    牛頓的理論其實這個問題本身就被很多物理學家拿來爭論幾百年了，每個人都能順著這個問題表達出自己獨特的看法。牛頓就曾宣揚過，時間和空間是構成宇宙的永恆不變元素，對此根本不需要解釋。正如牛頓在《自然哲學之數學原理》中寫的那樣（文章下方引用），根本不容的他人一絲懷疑。
  • 牛頓為什麼人品那麼差?
    牛頓當選千人偉人是毋庸置疑的！作為對世界影響極為深遠的科學家，他的貢獻大家都很熟知，文章就不在此贅述了，。文章卸下偉人的光環，直擊人性 ，看看偉人背後虛偽的另一面！牛頓牛頓為了名譽不惜一切代價打擊胡克！
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    04微積分Calculus發現者 牛頓、萊布尼茨發現時間 1684年公式圖解插圖中，一隻短腿烏龜奮力爬行，海神之子「阿喀琉斯」正打算追上它。插圖左側拋出蘋果的是牛頓，與之相對的則是拋出「二進位」的萊布尼茨。在蘋果與「二進位」之間，則是著名的微積分公式。牛頓與萊布尼茨都被數學界視為是微積分的發現者，兩人曾因誰先發現微積分有過一場浩大持久的爭奪戰，但在溘然長逝之後，兩人又因牛頓-萊布尼茨公式牢牢綁在一起。