10分鐘讓你快速了解行列式的幾何意義

2021-03-01 中科院物理所

本文來自公眾號：超級數學建模

微信號 ：supermodeling

5歲的表弟今天突然吵著小編問：三階行列式是什麼意思？

攤著這麼愛學習的表弟，小編也表示很無奈（內心OS：舅媽，這三年高考五年模擬的卷子）！

不過表弟既然提起，那還是要認真對待一下：

那我們還是來說說三階行列式：

上次說到，二階行列式代表兩個向量組成的平行四邊形的有向面積，那三階行列式呢？

三階行列式則代表三個向量組成的平行六面體的有向體積。

一個行列式可以通過拆分某一個列向量得到兩個行列式的和。

當行列式的有兩行或者兩列元素相同，它對應的空間平行六面體的兩條鄰邊重合，相當於將三維空間中六面體壓成了高度為0的二維平面。

顯然，這個平面的三維體積為0。

由於向量是具有方向性的，一個行列式的值對應矩陣A的列向量的一個固定順序。當detA為負值時，它確定原象的一個反射。所以，這種變換改變了原象的定向。

這就是說，平行六面體的體積的k倍等於六面體的三條稜中一條稜長的k倍。這是顯然的。因為立方體的體積增大可以沿著立方體某一稜方向增大相同的倍數。

此性質表述了以為底面積的平行六面體在a方向上進行了切向變換，變換的後的六面體因為底面積不變，高也不變，因此體積不變。

5歲表弟：表哥，你真厲害，不過這個又要怎麼解釋呢？

為什麼可以把他們拆分出來呢？

小編：。。。你這麼愛學習，你爸媽真的知道嗎？

其實這個叫做行列式的乘積項，這裡我們就拿二階行列式來說：

由於二階行列式的幾何圖形是一個有方向的面積（面積方向的確定：叉積的右手定則），那結果很明顯：

那對於三階行列式乘積項來說：

其實三階行列式與二階行列式的乘積項意義是類似的。

三階行列式的乘積項，可以看成具有有方向的小長方體的體積。

也就是說，在三階方陣張成的三維平行六面體可以分解為一個個由各座標分量混合積構成的小長方體。這些小長方體共有六塊，每一塊的體積都具有方向。

什麼意思呢，就是說有些方向相反的體積會被相互抵消掉。

5歲表弟：表哥，那你趕緊畫圖給我看看呀！

（此處並沒有圖）這次好好發揮想像力吧。

其實呢，一個行列式的幾何意義是有向線段（一階行列式）或有向面積（二階行列式）或有向體積（三階行列式及以上）。

因此，從幾何的角度來看，行列式是由各個坐標軸上的有向線段所圍起來的所有有向面積（或有向體積）的累加和。這個累加要注意每個面積（或體積）的方向（或符號），方向相同的要加，方向相反的要減，因而，這個累加的和是代數和。

對了，等會回家記得桌子上那堆書帶回去！

編輯：J.C

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