昨天，一條大新聞炸翻了學術界：著名數學家、菲爾茲獎和阿貝爾獎雙料得主阿提亞爵士（Sir Michael Francis Atiyah）宣布要在本月24號（也就是3天後）在海德堡宣講自己對於黎曼猜想的證明。本文來自微信公眾號：果殼（ID：Guokr42），作者： Yilong（群論研究公眾號，清華大學丘成桐數學中心助理教授，UCLA數學PhD），原文標題：《黎曼猜想即將解開？這個「純數學領域最重要的問題之一」，一篇文章講清楚》。
數學家們有個笑話：怎樣用世界上最難的方法掙到100萬美元？
答：去證明黎曼猜想吧！
這是因為2000年5月的時候，美國克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute, CMI）為了呼應1900年希爾伯特提出的23個歷史性數學難題（也稱「希爾伯特難題」）而設立的了一個成為「千禧難題」的數學問題挑戰，一共7個問題，解出一道便可獲得100萬美元的獎金，挑戰時間不限，題解必須發表在國際知名刊物上，並且要通過2年的驗證期和專家小組的審核。
這7個問題中，以黎曼猜想最為著名，它是數論的分支解析數論的一大研究主題：質數的分布。據說，每年各大研究中心都會收到無數的神秘來信聲稱自己證明了「黎曼猜想」，數學家們躍躍欲試，科學界也一直熱切關注。
所以備受矚目的「黎曼猜想」究竟是個啥？跟我們有關係嗎？
請收看《黎曼猜想，質數陰謀論，以及你不能說的秘密》：
一、為什麼研究質數
黎曼猜想是一個數論裡面的重要猜想，幾百年來無人能解。那麼，這麼困難複雜的數學猜想，跟你有關係嗎？請先看我瞎編的這樣一個故事：
有一天，我的一個學數學的朋友給我發了一條微信，裡面只有一串數，983040000。
我看到了之後，頓時覺得不妙，趕緊約這個朋友出來談心。果然，他被女友甩了，悲傷絕望，有點想不開。
終於，在我的勸說下，朋友成功走出了陰霾，找回了面對人生的信心。
那麼我是怎麼知道這個朋友不開心的呢？因為983040000=219·31·54。這裡面把質數從小到大排序：
·第一小的質數（也就是2）出現了19次；
·第二小的質數（也就是3）出現了1次；
·第三小的質數（也就是5）出現了4次。
因此如果認為這代表一個單詞，那麼第一個位置上的字母是第19個字母（S），第二個位置上的字母是第1個字母（A），而第三個位置上的字母是第4個字母（D）：合起來就是SAD。所以我知道這個朋友一定遇到傷心的事情了。
當然這個故事是我瞎編的。但是我們的生活中，無論是銀行數據，還是國家機密，還是個人隱私，這些東西的保護都離不了密碼，離不了加密的手段。
如果我想給你一串信息，又不想讓其他人知道，怎麼辦呢？咱倆可以先商量好幾個特別特別大的質數，比如說p、q和r。如果我想給你發送一個秘密的數字378，那麼我實際上給你發送p3q7r8，一個巨大無比的數字。從我這裡的角度，我可以很輕易的用計算機算出來這個乘法，得到結果發給你。從你的角度，你拿到了這個巨大的數字之後，只需要用p、q和r去除，就可以很快把冪解出來，得到378。
但是假設某個壞蛋截取了我發的這個秘密信息，那麼想要知道內容，他就必須分解質因數。然而在不知道p、q和r的前提下，分解質因數是一個非常複雜和緩慢的過程，他可能需要好幾百年才能破譯出來。如此，我們的秘密就得到了保護。
這裡面注意，p、q和r都必須要特別大，這時候分解質因數才會特別慢，甚至幾百幾千年。如果p、q和r分別是2，3和5，那麼分解質因數就非常快了，可能一秒鐘完事。
所以說，找到大的質數，了解質數都分布在哪裡，是一個十分重要的事情。
二、質數規律
數學家多年研究，發現了一個驚人的事情：質數分布最大的規律，就是它幾乎完全隨機！
這裡我們舉一個簡單的例子。假設我們從0到1之間均勻地隨機挑一個實數。那麼首先，我們知道這個實數的平均值應該是1/2。另一方面，這個隨機的實數當然不一定是1/2，1/2隻是在描述它平均的時候的樣子。實際上它和1/2往往會有一定的正的或者負的偏差。
一個數學家發現的重大規律就是這個：平均來講，1到n的正整數中一共有
個質數。當然，這並不是說1到n裡面一定有恰好n/ln(n)個質數。對於有的n來說，1到n裡面的質數比較多一點。而對於有的n來說，1到n裡面的質數比較少一點。但是隨著n越來越大，n/ln(n)個質數的這個估計就必然會越來越準確。
所以如果有人問你，1到10100裡有多少個質數呀？你大可以拍拍腦袋說，我猜有
個質數，基本離正確答案不會差太遠。一般來說，如果我們用π(n)來代表1到n裡面的質數個數的話，那麼
會如下圖所示，逐漸趨於1。
prime number theorem | wikipedia
事實上，隨著人們對質數的了解越來越多，我們越來越發現，在宏觀上來講，質數幾乎等於是按照這個n/ln(n)來進行的一種均勻分布。無論是你去數質數的個數，還是計算所有質數的和，還是研究孿生質數，都會發現質數呈現出一種驚人的宏觀均勻性。這就好像有一個操場上有無數多個學生，儘管每個學生都在瞎走一氣，毫無規律可循，但是總體來看，居然發現操場上每個平方米裡都恰好塞了4個學生！這真是很難想像的事情。但是目前來說，幾乎我們對質數的一切了解，都在指向這個方向。
這也進一步說明了，為什麼質數特別適合做密碼：因為質數本身就幾乎是隨機的，很難找到具體的規律，因此最適合作為加密的手段。
三、那麼怎麼研究質數
咱們先別想那麼多。假設我們就想研究三個數字，1，2，3。
怎麼研究呢？一種研究方法是，我們可以考慮研究這個函數：
我宣稱，這個函數的性質就包含了1，2，3的一切性質。為什麼呢？
假設我們取s=10。那麼這時候f(10)=1+1024+59049=60074。大家可以看到，這時候我們的f(10)和310沒差多少。事實上，隨著s越來越大，1s+2s相對於3s來說就越可以忽略不計。所以f(s)的這個s趨於無窮的極限的性質，其實就包含了一切的3的性質。
反過來，我們取s=-10。那麼這時候f(10)=1+特別特別小+更加小，約等於1。可見，f(s)的這個s趨於負無窮的極限的性質，其實就包含了一切的1的性質。
那麼怎麼研究放在中間的2呢？這時候我們就要取複數了。考慮
當然，大家未必知道怎麼計算複數冪，那麼我直接把答案寫出來吧。這時候，1s仍然是1，因為1的任何冪都是1。而2s是某個複數。最後，神奇的是，這個時候恰恰好3s=-1，哇！所以說
這個時候研究f(s)就等於是在研究2，因為1的部分和3的部分完全抵消掉了。
更廣義的來說，如果我們想研究所有的正整數，那麼只要我們搞清楚函數
的一切性質，那麼我們就搞清楚了全部的正整數。通過調整不同的s的值，我們就可以得到各種各樣的抵消。
四、黎曼猜想
黎曼定義了一個ζ函數（念zeta）：
這基本上和我們之前定義的差不多，只是差了一個負號。（黎曼定義這個負號，是因為希望s越大收斂性質越好。）這裡面s可以取各種各樣的複數，而對應的這個函數的值可能是無窮，可能是0，也可能是某個其他的複數。
黎曼猜想宣稱，如果ζ(s)=0，那麼s的實數部分一定是1/2。換句話說，s一定是1/2+b·i 的樣子。
但是為什麼我們要在乎ζ(s)=0的值呢？
一般來說，我們調整各種各樣的s的值的時候，ζ(s)裡面合數的部分往往隨隨便便就被質數的部分「吸收」了，而質數和質數的冪相對來說就很卻難被消掉，往往會殘留下來。那麼如果你恰好發現，對於某個s，ζ(s)居然等於0，也就是說質數也都消光了。這就說明質數裡面必然存在的某種針對這個s的結構。可以這樣想，一般來說，我們每找到ζ(s)的一個根，就等於找到了一個質數裡面的規律。
而一般來說，不妨這樣認為：一個根s的實數部分是1/2時，這對應的往往是最「沒用」的規律。一個根s的實數部分離1/2如果很遙遠，就意味著質數存在某種驚人的巨大的結構性。（按照陶哲軒的話說，說明所有的質數們都一起針對這個s的值存在著某種驚天的陰謀！）所以黎曼猜想等於是在說，質數最大的規律，就是沒有什麼突出的規律。這樣看來，黎曼猜想是一種悲觀論調。
那麼，如果黎曼猜想是正確的，那麼說明質數是沒有驚天的結構的，是幾乎均勻的隨機的。這等於說，我們進一步驗證了「質數其實是按照n/ln(n)來進行隨機均勻分布的」這個數學直覺。學過概率統計的同學可能知道，隨機數往往符合大數定理。黎曼猜想正確的一個明顯的後果就是，質數不僅僅似乎是按照n/ln(n)的概率均勻分布，而且還符合大數定理！而大數定理對於隨機數的研究是至關重要的。同理，黎曼猜想對於質數的研究也是至關重要的。
因此，不出意外的，如果黎曼猜想是正確的，那麼無數個我們對數論的猜想和直覺都會得到驗證。
五、黎曼猜想錯了，天會不會塌？
如果能夠找到黎曼猜想的反例，那麼反而是一個天大的喜事！為什麼？因為一旦我們找到了一個ζ(s)=0的根，且s的實數部分遠離了1/2，這就說明我們找到了一個關於質數的極其重要的規律！（發現了質數們的驚天陰謀！）這個規律很可能會我們對數的研究和認識帶來驚天動地的飛躍。
恰恰是，如果黎曼猜想被證明了，反而無關緊要。大家早就猜測黎曼猜想是正確的了，很多數學家早就已經在假設黎曼猜想正確的前提下，繼續往前研究了。所以如果有人證明黎曼猜想是正確的，這只不過是驗證了我們一直以來都沒錯而已，卻並不能夠帶來進步。
事實上，這有一個更有趣的現象。有很多的數學定理，比如說Littlewood定理，居然是這樣證明的：
1）假設黎曼猜想是正確的。那麼質數具有非常美好的宏觀均勻性。那麼運用美好的宏觀均勻性，證明了Littlewood定理。（Littlewood定理在這部分大概用了12頁。）
2）假設黎曼猜想是錯誤的。那麼黎曼猜想的反例就會給出一種質數之間的驚人的結構。這種結構甚至可以讓你一步登天，直接證明Littlewood定理。（Littlewood定理在這部分大概只用了半頁。）
3）所以說，無論黎曼定理是對的還是錯的，反正Littlewood定理都是對的。證明完畢。
另外，大家可以看到，黎曼定理錯誤的時候，往往是證明更簡潔更方便的時候！
總結一下，哪怕我們永遠也不會知道黎曼猜想的對錯，僅僅是黎曼猜想這個概念，就已經對數學產生了很大的推進作用。這就好像夢想一樣，無論能否實現，都能讓我們成為更好的人。
本文來自微信公眾號：果殼（ID：Guokr42），作者： Yilong（群論研究公眾號，清華大學丘成桐數學中心助理教授，UCLA數學PhD）。