同學們，暑假還剩一個月，請跟隨我們一起看看一些名題，在解決這些問題的過程中，學習數學，體會思維的樂趣。
第一個主題將從級數的認識開始，在解決等比級數的求和之後，我們將轉向幾個非常有名的問題，例如：馮諾依曼、蘇步青與狗的路程、瓶蓋換酒、分牛難題以及芝諾悖論。最後，簡單介紹下實數和十進位的關係，並嘗試解釋為何 0.999... =1.000...
在筆者撰寫本文過程中，得到了張贊波副教授的耐心指點和幫助，在名題解析部分，張教授將親自帶著大家從不同角度來審視這些著名的問題，相信各位同學一定能有所啟發。
面積問題
如圖，作出 △ABC 的中位線，並將中位線圍成的三角形 △DEF 進行塗色，繼續對 △AEF 的中位線組成的三角形進行塗色，如此不斷進行下去。問，塗色部分的面積佔 △ABC 面積的幾分之幾？
視整個三角形的面積為 1，考慮每個塗色三角形面積的佔比，則有第一個三角形面積為 1/4，第二個三角形面積為 1/16，第三個三角形面積為 1/64，如此繼續下去，可知本題即求下式的大小：
另外一方面，換個角度看本題的圖，可以立刻得到答案：注意到每層都平均分成了三塊，每塊塗色三角形的面積是該層的 1/3，故總的塗色面積也是全部的 1/3. 如下圖所示 。
當然，本題的解答並非本文的目的，而是要注意到，由於對塗色區域的面積計算了兩次，因而有下面的等式成立：
等式的左側，來自對塗色區域的每塊局域進行微觀上的分析；等式的右側，來自對整個圖形性質進行的宏觀評判。
另一個值得注意的是，這個等式表示一個永遠也加不完的無窮加法算式會等於一個恆定不變的常數！這是相當驚人的。這個反直覺的怪異的等式，就與我們將要講的等比級數相關.
級數和等比級數
首先給出一個便於理解的定義：對無窮項求和的式子稱為級數. 例如：
可以暫且這樣認為，在有限項數列求和的式子後，再加三個點，表示一直加下去的式子就是級數了。
而等比級數，顧名思義，是以等比數列構造的級數. 例如：可以由等比數列 1,1/2,1/4,1/8,1/16,..., 得到首項為 1，公比（後一項與前一項的比值）為 1/2 的等比級數，即：
開篇講的習題中的等比級數，其首項為 1/4，公比也為 1/4. 需要提醒的是，級數一詞本身就蘊含了無窮這個概念，所以我們將避免使用 「 無窮級數 」 的說法.
級數的和
既然級數是對無窮項做加法，它的「和」當然是首要考慮的性質. 現在定義：級數的和是指其所有項的和，可是，無窮個數的加法何時才能窮盡？加法無法做完又如何求出最後的和呢？ 看幾個例子：
顯然，前兩個級數的和算不出來，或者說和是 正無窮大 —— 在數學中，這是一個比你能想到的任何數都大的量，但它要比所有實數的數目要少（當然，兩個正無窮大怎麼比大小是另外一個艱深的問題）. 扯遠了，總之，這兩個級數的和很大，但不是一個固定的常數。
第三個級數是公比為 -1 的等比級數，它的前面若干項的和一會是 -1，一會是 0，可整個級數的和是什麼呢？有點神奇。
S=0，S=1？
再看最後一個級數，它也是一個等比級數，它的和好像會「接近」一個並不大的數，這個數是確定的嗎？如果可以，它到底是多少呢？
且聽下回分解 —— 等比級數的和。
印度數學家拉馬努金髮現的一個級數，真是醜到家了！