在上一篇文章中我們學習了一元二次方程：ax＾2＋bx＋c＝0（a≠0）的公式法的解法，其求根公式為：
x＝[－b±√（b＾2－4ac）]／2a
其中△＝b＾2－4ac叫根的判別式。
那判別式△＝b＾2－4ac的值與一元二次方程根的情況有什麼樣的關係呢？又如何應用根的判別式的值求一元二次方程中字母的值或取值範圍？
我們知道在二次根式中，根號裡的數不能小於0，若小於0則無平方根；而正數的平方根有兩個；0的平方根還是0。
所以當判別式：b＾2－4ac＜0時，方程沒有實數根；
當判別式：b＾2－4ac＝0時，方程有兩個相等的實數根；
當判別式：b＾2－4ac＞0時，方程有兩個不等的實數根。
那下面讓我們通過具體的例題來熟悉一下根的判別式的應用。
例1、判斷一元二次方程3x＾2－5x十3＝0根的情況。
分析：a＝3，b＝－5，c＝3，
那麼判別式
△＝b＾2－4ac
＝（－5）＾2－4×3×3
＝25－36
＝－11＜0
所以該一元二次方程無實數根。
例2：判斷關於x的一元二次方程5x＾2＋2kx－1＝0的根的情況。
分析：a＝5，b＝2k，c＝－1；
則判別式
△＝b＾2－4ac
＝（2k）＾2－4×5×（－1）
＝4k＾2＋20
因為k＾2≥0，所以4k＾2＋20＞0，
所以該一元二次方程有兩個不等的實數根。
例3：若關於x的一元二次方程（m－3）x＾2＋5x＋1＝0有兩個實數根，求m的取值範圍。
分析：該方程是關於x的一元二次方程，故m－3≠0，即m≠3；
又因為該方程有兩個實數根，所以判別式：△＝b＾2－4ac≥0，
5＾2－4（m一3）×1＝25一4m＋12≥0，解得m≤37／4。
所以m的取值範圍為m≤37／4且m≠3。
例4：在△ABC中，BC＝1，AB＝√3，AC＝b，若關於y的方程y＾2－4y＋2b＝0有兩個相等的實數根，求AC邊上的中線長。
分析：關於y的方程有兩個相等的實數根，所以判別式：△＝b＾2－4ac＝0，即4＾2－4×1×2b＝0，解得b＝2。
在△ABC中，BC＝1，AB＝√3，AC＝2，
所以BC＾2＋AB＾2
＝1＋3
＝4
＝AC＾2。
所以△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，故此AC邊上的中線長為2×1／2＝1（斜邊上的中線等於斜邊的一半）。
例5：已知關於X的方程（2n－1）x＾2＋2nx＋1＝0。
求證：不論n取什麼實數值，此方程總有實數根。
分析：①當n＝1／2時，此時方程為一元一次方程：x＋1＝0，有實數根x＝－1。
當n≠1／2時，此方程為一元二次方程，判別式：
△＝b＾2－4ac
＝（2n）＾2－4（2n－1）
＝4n＾2－8n＋4
＝4（n＾2－2n＋1）
＝4（n－1）＾2
因為（n－1）＾2≥0，故判別式△＝b＾2－4ac≥0，方程有兩個相等（或不等）的實數根。
所以不論n取什麼實數值，此一元二次方程總有實數根。