01
內角和定理
三角形內角和定理：三角形內角和為180°．
法1：構造平行線
如圖，過點A作BC的平行線，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，（兩直線平行，內錯角相等）
∴∠A+∠B+∠C=∠1+∠BAC+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°．
法2：構造平行線
如圖，過點A作BC的平行線，並延長BA，
證明過程同法一．
法3：構造平行線
如圖，過點A作BC的平行線，
∴∠C=∠1，
∴∠A+∠B+∠C=∠BAC+∠B+∠1=180°．（兩直線平行，同旁內角互補）
法4：構造平行線
如圖，在線段BC上取一點P，過點P分別作PM∥AB，PN∥AC
∴∠B=∠3，∠C=∠1，∠A=∠PMC=∠2，
∴∠A+∠B+∠C=∠2+∠3+∠1=180°．
雖然列舉了4種方法，但其實都是一個思路，構造平行線，將三角形三個內角轉化為有特殊位置關係的角組合．
所以我也曾經想過，是否有不用平行的方法來證明內角和為180°？
法5：帕斯卡的做法
三角形內角和等於兩個直角三角形內角和減一個平角．
在矩形EFGH中，連接EG，可得△EFG和△EGH形狀大小完全相同，故內角和也相同，矩形內角和為360°，所以直角三角形內角和為180°，且對於任意直角三角形都可作如上證明．
∴∠A+∠B+∠C=2×180°-180°=180°．
但這裡真的沒用平行嗎？其實有一個前提我們還並不知曉，為什麼矩形的4個角都是直角呢？換句話說，如何畫出一個矩形？
參考這個三角形的內角和居然不是180°！本文不再贅述．
02
外角定理
三角形外角定理：三角形的外角等於和它不相鄰的兩個內角之和．
在△ABC中，延長BC，∠ACD是三角形的一個外角，則∠A+∠B=∠ACD．
法1：利用內角和定理
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∠ACD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠ACD．
法2：構造平行線
如圖，過點C作CE∥AB，
則∠A=∠1，∠B=∠2，
∴∠A+∠B=∠1+∠2=∠ACD，
∴∠A+∠B=∠ACD．
03
外角和定理
三角形外角和定理：三角形外角和為360°．
在△ABC中，∠1、∠2、∠3分別是∠A、∠B、∠C的外角，則∠1+∠2+∠3=360°．
法1：利用內角和定理
∠BAC+∠1=180°，
∠ABC+∠2=180°，
∠ACB+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=3×180°-180°=360°．
法2：利用外交定理
∠BAC+∠ABC=∠3，
∠BAC+∠ACB=∠2，
∠ABC+∠ACB=∠1，
∴∠1+∠2+∠3=2（∠A+∠B+∠C）=2×180°=360°．
法3：構造平行線
延長BA，過點A作AN∥BC，
則∠2=∠MAN，∠3=∠CAN，
∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠MAN+∠CAN=360°，
∠1+∠2+∠3=360°．
法4：構造平行線
在BC邊取一點P，作PM∥AB交AC於M點，作PN∥AC，
∴∠1=∠AMP=∠MPN，
∠2=∠4，∠3=∠5，
∴∠1+∠2+∠3=∠MPN+∠4+∠5=360°．
法5：構造平行線
在△ABC內任取一點P，過點P分別作PM∥AB，PN∥BC，PQ∥AC．
則∠1=∠AMP=∠4，
∠2=∠BNP=∠5，
∠3=∠CQP=∠6，
∴∠1+∠2+∠3=∠4+∠5+∠6=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
法6：從旋轉的角度來看
BA方向旋轉到AC，從AC旋轉到CB，從CB旋轉到BA，回原方向，旋轉一周，
可得∠1+∠2+∠3=360°．
顯然法1、2優於法3-5，這就好比從山腰到山頂明顯輕鬆於從山底到山頂，定理的價值就在於我們需要邏輯但不必拘泥於邏輯．
我們以平行作為幾何開篇，從「第五公設」出發，開始著手研究我們最熟悉也是最簡單的三角形，以平行為基礎探究三角形中的結論，摸清兩者之間從因到果的關係，不失為一個講解邏輯推理的好例子．