歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，我們知道，不是任意長度的三條線段，首尾相接就能組成一個三角形，三角形中的三條邊的長度是有一點限制要求的，今天就來說一說，三角形三邊在長度要求上的關係，及對應題型解題思路分析的解讀。
【知識梳理】
1.三角形內角和定理
①三角形的三個內角的和等於1800。
②證明過程---解題思路：把三角形三個內角，通過平行線性質，轉化成一個平角。
如圖，過△ABC的頂點A作DE//BC，∵DE//BC，∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形的三個內角和是180°.
③拓展：n邊形內角和公式（n-2）×1800
2.三角形的外角
①三角形外角的特徵：頂點在三角形的一個頂點上；一條邊是三角形的一邊；另一條邊是三角形另一邊的延長線；
如圖2，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6均是△ABC的外角；由於這6個角中存在三組對頂角，所以一般說一個三角形的外角，是指它的三個外角。
②三角形的外角和定理：三角形的三個外角和等於360
如圖2，∠1+∠3+∠5=∠2+∠4+∠6=360°；
③三角形的外角性質：三角形的任意一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和，注意：「不相鄰」；
如圖2，∠1=∠2=∠ACB+∠ABC、∠3=∠4=∠BAC+∠ACB、∠5=∠6=∠BAC+∠ABC.
④三角形的外角大於和它不相鄰的任意一個內角，注意：「不相鄰」；
【範例精講】
例1. 已知AB//CD，求證：∠B=∠E+∠D
【解析】：這是平行線中三大典型模型的「牛角模型」，未知外角性質定理時，我們的證明過程如下：
當我們學習了外角性質定理時，證明過程就要簡潔一些了。
證：∵AB//CD（已知），
∴∠B=∠1（兩直線平行，同位角相等），
∵∠1=∠D+∠E（三角形外角性質），
∴∠B=∠D+∠E（等量代換）.
例2.當三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時，我們稱此三角形為「特徵三角形」，其中α稱為「特徵角」，如果一個「特徵三角形」的「特徵角」為100°，則這個「特徵三角形」的最小內角的度數為____.
【解析】：定義新運算題型，考查數學閱讀理解能力，運用三角形的內角和定理即可解答。
【解題過程】由題意可得：當「特徵角」α=100°時，則β=50°，
依三角形內角和定理，可得出這個「特徵三角形」的最小內角的度數為
180°-100°-50°=30°.
例3.在非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在的直線相交於點H，求∠BHC的度數.
【解析】在初中幾何題中，遇到這兩種情形，則必須首先考慮分類討論：①沒圖的幾何題；②遇到題目涉及到高時；如此題，由於無圖，△ABC可以是銳角三角形，也可以是鈍角三角形，則它們的高可以是界內高，也可以是界外高，則∠BHC可以在△ABC的內部，也可能在外部，所以首先考慮分類討論，解題過程大致為：先畫圖，再依三角形內角和定理和三角形外角性質求解。
【解題過程】
①當△ABC為銳角三角形時，如圖1，在△ABD中，
∵∠A=45°，∠ADB=90°，
∴∠ABD=180°-45°-90°=45°，
∴∠BHC=∠ABD+∠BEH
=45°+90°=135°；
②當△ABC為銳角三角形時，如圖2，在△AEC中，
∵∠A=45°，∠AEC=90°，
∴∠ACE=180°-45°-90°=45°，
∴∠DCH=∠ACE=45°，
∴∠BHC=180°-∠ADH-∠DCH
=180°-45°-90°=45°；
綜上所述，∠BHC的度數為135°或45°.
例4.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數.
【解析】利用三角形外角性質，將∠A、∠B、∠C、∠D、∠E轉移到△AFG內，再利用三角形內角和定理即可解答。
【解題過程】由三角形外角性質可得：
∠AGF=∠B+∠D，∠AFE=∠C+∠E，
在△AFG中，
∵∠A+∠AFG+∠AGF=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠A+∠AFG+∠AGF=180°.
例5.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數.
【解析】:利用三角形外角性質，將∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F轉移到△GMH附近，再利用三角形外角和定理即可解答。
【解題過程】
由三角形外角性質可得：
∠AGH=∠A+∠B，∠DMH=∠C+∠D，∠FHG=∠E+∠F，
∵∠AGH、∠DMH、∠FHG是△GMH的三外角，
∴∠AGH+∠DMH+∠FHG=360°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
例6.已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其摺疊，使點A落在BC上的E點處，摺痕為CD，求∠EDB的度數。
【解析】:依摺疊性質，可得∠CED的度數，利用三角形內角和定理求出∠B的度數，再利用三角形外角性質，即可求出∠EDB的度數。
【解題過程】
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠B=180°-90°-50°=40°，
由摺疊性質可得：∠CED=∠A=50°，
在△BED中，由外角性質可得：
∠CED=∠B+∠BDE，
∴∠EDB=∠CED-∠B=50°-40°=10°.
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