近年來以圓為載體，通過點的運動或圓本身的運動來考查與圓有關的最值得題型頻頻出現，解決這類問題的關鍵是找出確定最值成立的條件，大家應學會化未知為已知，與已知知識點相聯繫，尋覓引起變化的主題原因，架起思維的橋梁，實現有效的轉化，從而找到突破口求解。
類型1 利用圓中最長的弦是直徑
例1．（2018秋和平區期中）如圖①，AB是⊙O的弦，AB＝8，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB＝45°，若點M、N分別是AB、AC的中點，則MN長度的最大值是_______；
【分析】根據中位線定理得到MN的長最大時，BC最大，當BC最大時是直徑，從而求得直徑後就可以求得最大值．
【解答】如圖1，∵點M，N分別是AB，AC的中點，
∴MN＝1/2BC，
∴當BC取得最大值時，MN就取得最大值，當BC是直徑時，BC最大，
連接BO並延長交⊙O於點C′，連接AC′，
∵BC′是⊙O的直徑，∴∠BAC′＝90°．
∵∠ACB＝45°，AB＝8，∴∠AC′B＝45°，
【點評】本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質及垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運用，解題的關鍵是了解當什麼時候MN的值最大，根據運動變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形．
類型2 利用過圓內定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短
例2．（2018秋新吳區期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），直線y＝kx+12與⊙O交於B、C兩點，則弦BC長的最小值（ ）
A．24 B．10
C．8 D．25
【分析】易知直線y＝kx+12過定點D（0，12），得OD＝12，由條件可求出半徑OB，由於過圓內定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，因此只需運用垂徑定理及勾股定理就可解決問題．
【解答】對於直線y＝kx+12，當x＝0時，y＝12，
故直線y＝kx+12恆經過點（0，12），記為點D．
由於過圓內定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，
如圖BC⊥OD，連接OB，∴OB＝13，OD＝12，
由勾股定理得：BD＝5，∴BC＝2BD＝10，故選：B．
【點評】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理等知識，發現直線恆經過點（0，12）以及運用「過圓內定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短」這個經驗是解決該選擇題的關鍵．
類型3 利用垂線段最短的性質
例3． 如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是邊BC上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O，分別交AB、AC於點E、F，連接EF，則線段EF長度的最小值為_______．
【分析】由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，此時線段EF＝2EH＝20Esin∠EOH＝20Esin60°，因此當半徑OE最短時，EF最短，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH＝1/2∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF＝2EH．
【解答】由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，
如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，
∴AD＝BD＝2√2，即此時圓的直徑為2√2，
由圓周角定理可知∠EOH＝1/2∠EOF＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OEsin∠EOH＝√2×√3/2＝√6/2，
由垂徑定理可知EF＝2EH＝√6．故答案為：√6．
類型4 利用將軍飲馬模型
例4．（2018秋南開區校級月考）如圖所示，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，弧BC所對的圓心角為60°，點P、E、F分別是弧BC、線段AB和線段AC上的動點，則PE+EF+FP的最小值為______
【分析】連接AP，OP，OA．分別以AB、AC所在直線為對稱軸，作出P關於AB的對稱點為M，P關於AC的對稱點為N，連接MN，交AB於點E，交AC於點F，連接PE、PF，所以AM＝AP＝AN，設AP＝r，易求得：MN＝√3r，所以PE+EF+PF＝ME+EF+FN＝MN＝√3r，即當AP最小時，PE+EF+PF可取得最小值．
【解答】連接BC，取AB的中點D，連接CD，
則AD＝BD＝1，∴AD＝BD＝AC，
∵∠BAC＝60°，∴△ADC是等邊三角形，∴CD＝AC＝1，
∴CD＝1/2AB，∴∠ACB＝90°，
連接AP，O，OA．分別以AB、AC所在直線為對稱軸，作出P關於AB的對稱點為M，P關於AC的對稱點為N，連接MN，交AB於點E，交AC於點F，連接PE、PF．∴AM＝AP＝AN，
∵∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，
∵∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝∠MAB+∠NAC＝60°，∴∠MAN＝120°
∴M、P、N在以A為圓心，AP為半徑的圓上，
設AP＝r，易求得：MN＝√6r，
∵PE＝ME，PF＝FN，∴PE+EF+PF＝ME+EF+FN＝MN＝√3r，
∴當AP最小時，PE+EF+PF可取得最小值
∵AP+OP≥OA，∴AP≥OA﹣OP，即點P在OA上時，AP可取得最小值，
在Rt△ABC中，∵AC＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝√3，
∵∠BOC＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，
∴OC＝BC＝√3，作OH⊥AC 交AC的延長線於H．
在Rt△OCH中，∵OC＝√3，∠OCH＝30°，
此時AP＝r＝√7﹣√3，∴PE+EF+PF的最小值為 √21﹣3，
故答案為：√21﹣3．
【點評】本題考查圓的有關知識，涉及軸對稱的性質，勾股定理，垂徑定理，等邊三角形的性質與判定等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用知識．
類型5 構造輔助圓
例5．（2018秋武昌區期中）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動點，連AP，取AP中點Q，連CQ，則線段CQ的最大值為（ ）
A．3 B．1+√6
C．1+3√2 D．1+√7
【分析】如圖，連接OQ，作CH⊥AB於H．首先證明點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，當點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解決問題；
【解答】如圖，連接OQ，作CH⊥AB於H．
∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°，
∴點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，
當點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，
∴OH＝1/2OC＝1，CH＝√3，
【點評】本題考查圓周角定理、軌跡、勾股定理、點與圓的位置關係等知識，解題的關鍵是正確尋找點Q的運動軌跡，學會構造輔助圓解決問題，屬於中考填空題中的壓軸題．
綜上所述，在解決圓的最值問題時，我們應該學會動中覓靜，要分清在運動過程中圖形的不變元素和變動元素，探尋到哪些隱含的，在運動變化中沒有改變的不變量或不變關係，抓關鍵因素促成問題轉化。以上幾個例題為圓的有關最值求解的常用的思路，只要我們要尋得問題的源頭，便能抵達成功的彼岸。