一個魔頭的終結——不定積分匯總(一)

2021-01-14 Thus We Are

        考完微積分後，Dait的心拔涼拔涼的：「果然大學還是充滿了機遇與挑戰啊……」他心裡這麼想著，打開了LaTeX開始摸魚。

        摸魚時，Dait突然發現，根式下的二次函數積起來相當有挑戰性。為了安慰自己受傷的心靈，也為了一勞永逸，Dait總結出了根式下二次函數相關的積分表。

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        注1：下表列出了三類特別常見的積分，對一般的二次函數可以配方。

        注2：為了某些對稱性，積分結果並沒有用常見的對數ln表示而是用反雙曲函數artanh表示，當然二者等價。

        注3：為了方便，這裡我們約定=等號的意義為：兩邊對任意x都相差一個常數，這麼做是為了省略C以及兩種原函數之間C的變換。

（但考試時要C，我考試差點忘了）


        下面就是積分表，我們可以明顯看出一些對稱性。

        其實你可以發現，將x用xi替換後，r也變成了t；將a用ai替換後，r就變成s了，相應的，積分結果也會發生一些變化，我們有恆等式：tanhix=itanx，就可以實現變換。

        做完了這些，Dait心裡感覺舒緩了很多，他自認為自己對不定積分的理解又深入了一點點，認為自己又學到了不少LaTeX的知識（雖然用LaTeX畫表格是個很愚蠢的行為，尤其是裡面有分式的時候）。雖然這些工作對他已經崩掉的微積分來說，已經來得太遲太遲了……

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