最近老顧訪問了很多大學，拜會了很多學術泰鬥，同時遊歷了很多城市，體會了這些城市的獨特味道。在煙波浩渺的滇池之濱，空靈秀麗的睡美人山下，老顧與三十年未曾謀面的老同學重逢，也和以前的學生們聚會。印象中的老同學聰慧溫潤，玉樹臨風。高中期間酷愛文學詩詞，更愛數學物理。最後投筆從戎，進入軍校，成為骨科權威。多年來隨軍駐守在西南邊陲，經歷了金戈鐵馬、顛沛流離的軍旅生涯。雖然飽經歲月風霜，生活磨礪，老同學性格氣質依然如初，從容恬淡，低調柔和，只是話語中隱約透露出殺伐決斷的剛毅之氣。老同學以昆明特有的牛肝菌、青頭菌宴請老顧和老顧的學生們，席間簡略地回顧了三十年的人生歷程。老同學沒有選擇醫學方面的學術道路，而是選擇了直接行醫，懸壺濟世。主要原因在於學術方面的成果往往要數十年之後才會被社會接受，絕大多數的學術研究終究會融入到整個知識體系之中，被歷史的洪流所湮沒；臨床行醫對於社會的貢獻更加直接，個人價值的體現更加充分。老同學的一番話語實際上道出了學者內心最深處的恐懼：研究成果被時代所遺忘。年輕學者急於得到社會的承認，飢不擇食地選擇研究方向，發表論文；成熟的學者多半能夠甄破內心的虛榮，審視自己研究結果的真正價值，追求能夠超越時代、告慰人生的成果。工程方面的學者很容易趕上時代浪潮，風光一時，但也容易時過境遷，被時代拋棄；基礎理論方面的學者往往不被社會理解，一世清貧，但更有機會做出具有恆久價值的成果。老顧覺得老同學挽救過很多人的生命，應該為自己的職業而驕傲。但是老同學卻不希望自己的後代從醫，因為目前體制原因，醫生沒有得到社會應有的尊重。他希望老顧為孩子推薦未來依然會蓬勃發展的方向。老顧覺得數學和計算機結合應該潛力無窮。老同學和老顧感慨歲月不饒人，轉瞬韶華已逝，暮色將近，他仔細給老顧講解了腰間盤突出、頸椎老化的內在機理以及防護措施，並且開始憧憬退休之後的幸福生活。老同學在重慶讀過研究生，適應了火爐的酷暑之後，娶了重慶太太，對重慶充滿了感情，希望近期回到重慶：「重慶有一種獨特的味道，深深地吸引著我」。
前不久老顧到重慶探望師兄，在重慶理工聽師兄的弟子講解復幾何中的消沒定理。重慶整座城市修建在長江兩岸的崇山峻岭之上，被無數的穿山隧道和跨江大橋所連接，地勢雄奇險峻，水勢浩蕩汪洋。重慶民風也是彪悍剛烈，熱情似火。洪崖洞的吊腳樓風格獨特，裡面食肆林立，燈影牛肉，張飛火鍋，琳琅滿目，目不暇給。眾食客面色通紅，大汗淋漓，痛飲烈酒，爆涮火鍋，濃烈辛辣，沸騰喧囂，一派江湖之氣。長江沿岸，專賣麻將機的商鋪一字排開，綿延數裡，使老顧覺得這裡的生活果然從容閒適，悠然自得。但是朝天門碼頭摩天大廈拔地而起，其氣度幾乎不輸上海陸家嘴，特別是長江邊上有兩幢高樓，通體黃金打造，金燦燦、奪人雙目，明晃晃、氣勢逼人，使人覺得川蜀的傳統生活方式受到了現代節奏的威脅。
在現代文化浪潮衝擊下，能夠堅持自身的文化傳統的城市非蘇州莫屬。對於北方人而言，江南是一個神秘的文化符號，那裡有小橋流水人家，那裡有青石板鋪就的雨巷，會走出打著油紙傘、丁香般結著愁怨的姑娘。蘇州無疑是典型的江南城市，極富文藝氣息。江南的梅雨季節，天空晦暗迷濛，蘇州的建築卻是白牆黑瓦，對比鮮明。建築格局宛若一幅水墨國畫，線條簡約，大片留白，錯落有致，素雅沉靜。整個城市無時不刻不沉浸在香樟的隱約香氣之中，間或有桂花糕的味道飄來。蘇州的平江街傳承自唐宋，沿著一條蜿蜒的小河而建，河上各色拱橋，小巧精緻，兩側粉牆黛瓦，古意盎然。很多古宅都被改成臨街店鋪，極有韻味，堪稱是文藝青年的人間天堂。與商業逐利相比，這裡商家的理想是「販賣美好」（一家商鋪的名字），你只需「撒嬌」就可以議價（另一商鋪的提示）。在這裡，你能夠回憶起久被遺忘的童年，體會到各種文藝情愫，觀賞到各種文化創意。老顧重溫了上個世紀80年代的小人書，給20年後的自己寫了明信片，買到了活版印刷的鉛字，欣賞了美輪美奐的玉雕，看到了蘇繡的絕活。有一種雙面繡的技藝冠絕天下，背面繡亭臺樓榭，正面看籠罩著煙雨迷濛，然後再從正面繡上才子佳人，如此前景背景相互映襯，相得益彰。滿街都是充滿江南特色的小吃，酒釀丸子、鮮肉月餅、海棠糕、竹筒餈粑，名字聽起來就很風雅。但也聽說「雞腳旮旯」（一家店名）的雞腳也很不錯，只因名字粗俗，所以隱藏在旮旯裡。華燈初上，老顧在臨河的「姑蘇菜館」中體會蘇州菜，點了著名的太湖三白，由太湖中的三種河鮮烹飪而成，細膩而鮮美；沽了一壺糯米黃酒，柔和而溫熱。河道上，小船穿梭來往，船娘頭戴鬥笠、身著藍青花短衫，一邊搖櫓一邊唱著船謠。河畔，身著漢服的少女婷婷嫋嫋，沿街徜徉。夜幕中隱約傳來蘇州評彈，春鶯百轉，醉心蕩魄。河水倒映著闌珊夜色，靜流無聲，吳都千年，古韻悠然。
蘇州豐厚的文化底蘊，宛如氤氳的香氣，滲透到生活的所有細節。老顧在老蘇州茶館早餐，點了一道招牌菜：三蝦麵。老顧被這道面的精緻所震撼，但見麵條細如髮絲，太湖蝦仁晶瑩剔透，蝦頭火紅如琥珀，蝦籽燦若星芒。在沒有機械的古代，將細小透明的太湖蝦分解成蝦仁和蝦頭，這得需要多麼靈巧的雙手和多大的耐心？一碗麵的食材需要耗費多少時間才能準備齊全？老顧的很多英國、德國的朋友對於中國飲食文化覺得難以理喻，原因在於他們覺得沒有必要為食物的烹飪花費太多的時間和精力。老顧卻覺得歐美文化沒有發明出筷子，無法用刀叉靈活地剔除魚刺，因此他們只能食用厚實少刺的海魚，無法享用細膩多刺的淡水魚，缺少了很多人生樂趣。老茶館的建築和陳設都是承襲古制，酸枝桌椅，雕花門窗，竹製燈籠，紅木中堂。門口一隻青花大瓷缸，內養荷花錦鯉。整體感覺非常和諧典雅，簡約舒適。老顧對著雕花門窗找了半天黃金分割率，也沒找到。看來東西方的美學標準的確不同，美學價值觀念也各有千秋，不必一以貫之。
老顧慕名觀賞了名聞天下的蘇州拙政園，這裡的園林藝術登峰造極。奇峰怪石，崇樓幽洞，荷塘魚池，名葩奇木，處處都是優美的景致。園內亭臺樓榭錯落有致，玲瓏古雅，飛簷鬥拱，雕梁畫棟。「卅六鴛鴦榭」、「十八曼陀羅花館」，名字優雅，令人浮想聯翩，「與誰同坐軒」更令人無論如何也想不到清風明月。這裡的怪石造型追求瘦露透皺，具有複雜的拓撲和曲率。這裡的雕花窗欞講究移步換景，絕不雷同。老顧仔細研究了雕花的幾何模式，發現各種平面對稱性都被巧妙應用，特別是現代雕花從平面模式進化到了紐結結構。但是現代幾何的雙曲對稱性還沒有出現在這些木雕藝術之中。設想一位古代江南才子，每天經過「桃花渡」，穿越「竹香廊」，登上「嘯月臺」，梳風延月，誦讀詩書，何等逍遙。同樣，一位現代江南才子，依然可以在醇釅的文化氛圍中思考黎曼度量、亞純微分、曲率聯絡，其美學體驗一脈相承。雙曲幾何的出現使人類意識到歐氏幾何並不是天然的真實幾何，這是古典幾何和現代幾何的分水嶺。
在深圳，老顧拜會了機械設計、計算力學與機器人研究領域的國際知名學者，香港科技大學的王煜教授，王教授是水平集結構拓撲優化方法的主要創始人。王教授對於高虧格度量曲面容許雙曲結構這一理論非常有興趣，他對於共形幾何在機械設計和計算力學領域的應用前景非常看好。對於老顧團隊應用黎曼面理論來為網格生成奠定理論基礎，王教授給與了充分肯定。王教授認為機械領域的幾何表示主要有設計領域的樣條NURBS，分析仿真領域的不規則四面體網格剖分，規則四邊形和六面體剖分是聯結這兩種基本表示的橋梁。
在上一講中，我們證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，從而用阿貝爾定理給出網格奇異點構型的條件。阿貝爾定理是說黎曼面上亞純微分的除子經過阿貝爾-雅可比映射，映到雅可比簇的零點。雅可比定理推廣了阿貝爾定理。雅可比定理給出了黎曼面Picard群和雅可比簇為加群同構。
回憶雅可比簇的定義
圖1. 典範基本群基底和基本域。
我們下面用較為嚴密的數學語言來解釋四邊形網格奇異點構型的條件。假設M是一個虧格為g的封閉曲面，嵌入在三維歐氏空間之中，因而具有歐氏度量誘導的度量。我們選取曲面的典範基本群基底
，
滿足條件：和的代數相交數為，和,和的代數相交數都為0。我們將黎曼面沿著基本群典範基底切開，得到一個基本域。度量曲面同時為黎曼面，假設其全純微分群的基底為
,
由此我們構造所謂的周期矩陣
如此得到中的格點群
,
這裡是A周期矩陣的列向量，是B周期矩陣的列向量，都是整數。商空間被稱為是黎曼面的雅可比簇。根據Torelli的工作，雅可比簇可以反過來決定黎曼面。
從黎曼面到雅可比簇的Abel-Jacobi映射被定義為：
這裡是定義在基本域中，聯結某個固定基點和的一條路徑。
雅可比定理
次數同態是從除子群到整數加群的同態，次數同態的核
是次數為零的除子。主除子群（即亞純函數的除子）是核的子群，商群是的Picard群，
記為。Abel-Jacobi映射誘導了加群同態：
,
Abel定理斷言這個同態是單同態，Jacobi定理斷言這個同態也是滿同態。
引理：設是虧格為g的緊緻黎曼面，為的一個局部坐標系，則存在U中g個不同的點，及一組全純微分的基底, 使得矩陣
為非退化的，其中全純微分的局部表示為。
先取上的非零全純微分, 其在U中不能恆為零，因此存在一點,使得在此點處非零。由於，我們可以在中取全純微分, 使得在某點處非零。又由，我們可以在處取全純微分，使得在某點處非零。如法炮製，我們就得到g個點及g個非零全純微分，使得
如果在U內
則g階方陣
為下三角矩陣，且對角線元素非零，因而為非退化的矩陣。同時為一組全純微分基底。證明完畢。
現在設是這個引理中的g個點，我們定義一個新的映射如下：設乘積流形，定義,
定理（Jacobi定理）映射為滿射，
為加群同構，因而
也是滿射。
證明：設是次數為零的除子，考慮次數為g的除子
由Riemann-Roch公式，有
因此存在非零亞純函數，此時的次數為g，因此可以寫成
這意味著， 即為滿射。
根據Abel定理，為單射。由於為加群同態，為了說明為同構，只要證明的像包含的一個開鄰域即可。我們只需證明，的像包含這樣的一個開鄰域。
設是引理中的一組全純微分的基底，在鄰域U中取以為中心的兩兩不交的坐標圓盤，上的坐標函數仍為z。在這些坐標下，的局部表示為
,
其中積分曲線都在各自坐標圓盤中選取。F的雅可比矩陣為：
.
根據引理，在處的Jacobi矩陣是非退化的。由逆映射定理知J的像包含了一個開鄰域。證明完畢。
小結
阿貝爾-雅可比定理屬於經典的黎曼面理論，迄今應該有一百多年歷史了。這一定理抽象而深刻，一直和實際工程應用沒有發生聯繫。貝塞爾曲線（Bezier Curve）於1962年被發明出來，這意味著計算機輔助幾何設計也有近六十年的歷史。沒有想到阿貝爾-雅可比定理會和計算機輔助幾何設計產生深刻而本質的聯繫。黎曼面上的亞純微分神秘晦澀，難以琢磨；曲面的四邊形網格卻是常見直觀，觸手可得。這兩者居然本質相通，實在令人匪夷所思。這再次證明了數學的普適性和有效性。這也證明了將尚未理解透徹的數學理論視為無用而忽視，這一做法是功利而短視的。希望更多的年輕人能夠學習幾何知識，在工程實踐中發現新的天地！
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