阿拉巴馬悖論
1882年，德克薩斯州議員諾加·米爾斯對數學進行了譴責，他說：「我認為數學是一門神聖的科學，它是接近神靈的唯一科學，所說的都是正確的。我所受到的教育一直是數學展示了真理，也知道在天文學、哲學和幾何學及所有其他學科中，總有些問題需要推測，而數學如同《啟示錄》的聲音一樣，它開口時總是說：『上帝是這樣說的。』但是，這裡有個新的數學體系表明，真理就是謬誤。」
米爾斯所說的問題是眾議院一直面臨的同題：每個州應該分配多少個代表？國會代表按比例分配的數學聽起來像是採用簡單的、人們擁護的一人一票的方法。但是，像直接選舉方案一樣，間接代表制卻受著數學上悖論的嚴重困擾。
直接選舉方案的悖論是策略運籌學性質的，它牽涉到選舉人合謀選舉他們自己的候選人。國會代表分配的問題，只是每個州分配到的代表人數，而不是怎樣選代表的問題。按比例分配屬於應用數學領域，叫做社會選擇理論。
為什麼按比例分配是這樣一個問題呢？美國憲法第一條第二款似乎提供了一個直接的答案：每個州派往眾議院的代表人數應與本州人口成比例。問題是，人是「最基本的單位」，在比例上可以出現1.5這樣的數字，但你卻無法讓1.5個人做眾議員。
假定你要在只有兩個州的國家成立一個眾議院：A州有人口11萬，B州有人口23萬。每個州按其人口選派代表，最小的眾議院會是怎樣的呢？最小的眾議院會有34個成員，如果成員少一些，則其中一個州（或兩個州）會出現一個分數代表。換句話說，當眾議院的人數少於34人，A州和B州的代表人數就沒有整數。
像美國有50個州這樣大的國家，這些州的人口數量相互之間又不是整倍數，問題就明顯地複雜了。在一個特定規模的眾議院裡，每個州的理想代表人數是按該州人口與總人口的比率乘眾議院總席位數得出的。既然這個理想數字可能是個分數，並且不允許代表出現四分之一這樣的數目，那就需要有個更好的分配代表的方法了。
許多美國開國元勳，包括亞力山大·漢密爾頓、託馬斯·傑弗遜和丹尼爾·韋伯斯特，曾提出他們各自的解決方法。這些方法各有玄機，但大概思路是相同的：第一步，用某個基數（如以10000人為基數，以全國人口數除以議員席位得出的比例數或最小州的總人口數）除各州人口數，得出一個「理想代表數」，當然，這些數字絕大多數都是帶小數點的；第二步，先給每個州一個代表數，與其理想的代表的整數部分相等，捨棄其分數部分。換言之，如果某州理想的代表人數為3.62，它就有3個代表。在這個基礎分配的代表人數上計算出代表總數。如果總數沒有達到眾議院要求的人數，就取那些捨棄了的最大分數值的州的代表進眾議院。例如在一個26席位的眾議院，A、B、C、D和E開始時分別獲得以下代表數：9、7、5、3和1，但只佔26個席位中的25個席位，假如D州有最高小數，因而它可增加一個代表，共4個代表。
這種方法至少符合一個平等的原則：它給每一個州能夠就近上下浮動的理想的代表數。換句話說，如果D州的理想代表數為3.319，總會有3個或4個代表，永遠不會有2或5個代表。
可是，這個方法違背另一個更難理解的公平準則。在我們5個州的例子裡，設想眾議院的規模由26個席位增加到27個。在27個席位的眾議院，A、B、C、D和E各州分別獲得9、8、6、3和1個代表數。奇怪的是，即使眾議院的規模增加了，D州卻少了一個代表。為什麼眾議院人數增加了，D州的代表人數現在反而較少了？答案是按照27席計算的結果，這個州「理想代表」的小數位比別的州小了。
這個奇怪的現象被稱為阿拉巴馬悖論（因為這種悖論是頭一次在牽涉到阿拉巴馬州的計算中發覺的）。
1881年，人曰調查局的一位官員根據1880年人口統計，在調查歷屆眾議院從275個席位到350個席位規模的按比例分配情況中，找出了阿拉巴馬悖論。他寫信告訴一位議員:「我進行這些計算的時候，我遇到所謂的『阿拉巴馬悖論』問題，我發現在議員總數是299人時，阿拉巴馬州分配到8個議員席位;但總數是300時，它只獲得7個席位。」
其後20年，阿拉巴馬悖論的缺陷只是在理論中存在，所以還沒有引起太多關注，直到1901年眾議院席位以1900年的人口統計為基礎重新按比例分配時，阿拉巴馬悖論成為了一個實際問題，引起了激烈的辯論。
這一年議會通過了一項議案，確定眾議院規模為357個席位，按照人口比例計算，科羅拉多州獲兩個席位。可是科羅拉多州議員約翰·貝爾注意到，在擁有350至400個席位的眾議院，他的州都會獲得3個議員席位，唯獨在357這個數字上，他的州只有2個席位。於是他嚴辭譴責了這個「由數學家推出的並稱之為悖論的暴行」。與科羅拉多州同樣受到阿拉巴馬悖論的損害還有緬因州，一位緬因州議員說：「這就像是數學和科學聯合起來，把緬因州當球耍……當數學抓住緬因州的時候，願上帝保佑它!」
在以後幾十年中，傑出的數學家們向眾議院提供了複雜的公式，迴避阿拉巴馬悖論，他們的公式對大多數政客來說，是莫名其妙的。直到1982年，兩位數學家提出了一項數學論證：既能滿足定額又能避免阿拉巴馬悖論的按比例分配法是不存在的。