在學習和日常生活中，不少人認為數學是理性的、枯燥的。但其實數學是純粹的。它不需要華麗的修飾，一道道簡潔又從容的公式，就能表達出這種純粹的邏輯之美。素數出現在我們的生活中，又體現在生物進化的歷程中，更讓無數的數學家為之嘔心瀝血、如痴如醉。
出品："格致論道講壇"公眾號（ID：SELFtalks）
以下內容為中國科學院數學研究所博士生導師、研究員徐曉平演講實錄：
一提到數學，一般人都覺得太枯燥無味。但細細想、細細看，它又無處不在。今天我們從邏輯的角度，來領略數學的美。
首先，什麼是數學？它是科學的描述和研究事物規律的方法和工具，是人類邏輯思維文明的重要體現，更是邏輯思維文明的發展平臺。
我曾經問一個法國教授，數學有什麼用？他告訴我，數學能使人更聰明，數學的價值不能單靠物質上是否有用來衡量。美國華爾街的金融機構，僱傭了大量的數學博士，看重的就是他們邏輯思維能力。
素數之美
自然數1、2、3、4、5，出現在古代人類文明中有五千年以上的歷史。可是人們對自然數的認識，卻是一個漫長發展的過程。比如說素數，也稱為質數，是大於1的整數，它不能寫成小於它的兩個正整數之積，例如素數2、3、5、7、11、13、17、19等。
素數最早出現在古代埃及分數中。有5張大餅平均分給8個人，怎麼分？先看古埃及怎麼分，將其中4張各切成兩半，剩下張切成8塊，每個人的份額是半塊加1/8塊。
用現代數學表示，就是5/8等於1/2加1/8，它就是一個埃及素數。它是古埃及人刺在一種不易腐爛的樹葉上的分配方案，是考古學家發現的。如果一個數是有限個分子為一的分數之和，它被稱為埃及分數。古埃及人在類似的分配方案中，意識到了素數的特性。
對素數的研究的記載，最早出現在公元前300年的古希臘人歐幾裡得的《幾何原本》中。歐幾裡得證明了有無窮多個素數，那麼有沒有更好的數素數方法呢？有，這就是所謂的素數定理。
我們數數看，小於X的正整數裡有多少個素數？X小的時候能數，X大了很難數了。而素數定理告訴你，當X充分大的時候，這個值與X除於LnX的值相近。近看小於x的素數值看不出所以然來，遠看它卻表現出優美的規律，X除以lnX，這就是數學的美妙之處。
這是18世紀末，由高斯和勒讓德獨立發現的，但是並不是由他們證明。他們的發現只是一種猜測。兩個人試圖證明過，但沒有成功。後來Chebyshev在1851年，Riemann在1859年嘗試過並取得了進展，但是還是沒有完全解決問題。
最終，1896年，Hadamard和Poussin獨立地完成了證明。也許你會問素數有什麼用？動物學家發現某些蟬的演化用到了素數。這些蟲的一生，大多數時間以蛆的形式生活在地下，到化蛹出地洞需要7、13或17年，出來後翻飛繁殖，最多幾周就死亡了。
為什麼這些蟲要素數年後才出洞呢？據說是為了減少被天敵追殺的概率。70年代，素數不僅是發明公鑰密碼算法的基礎，還是現代許多數學領域裡發展的根基。
公式之美
上世紀初，印度的天才數學家Ramanujan，在劍橋大學見到Hardy之前，給Hardy寫了一封信，內含他發現的等式。
左邊是個無窮的連分式，而右邊卻是個簡潔的初等的表達式。Hardy看到後說：「它完全擊潰了我，我之前一點也沒有看過這樣的東西，只有一流的數學家才能寫出來！」，這就是讓人眼前一亮的數學。
下面的例子跟我們的日常生活有關。一個自然數n的分割函數，是n個物體分配方案的個數，比如說n等於2有兩種分法；n等於3有三種分法；等n等於4的時候就不是4種分法了，而是5種分法；n等於5，有7種分法。
我們看一下數字，P（2）等於2，P（3）等於3，P（4）等於5，P（5）等於7，P（10）等於42。大家看到P（100）已經很大，而到P（200）那就更大。看了這組數據以後，你可能會說增長太快了，沒法數，但是有人會數。
Hardy和Ramanujan在1918年，Uspensky在1920年獨立證明「當n充分大時，P（n）與近似號右邊的初等函數的值相近。同樣，近看P（n）的數字跳躍的很厲害，看不出什麼規律，遠看它卻以一個初等函數的規律顯示出來，這個結果是猜不出來的。
他們是用了數論裡面的圓法，經過複雜的計算得到的，他們做出了別人難以想像的結果，分割函數也常出現在量子物理中。
數學的「殘缺美」
聽說過「殘缺美」這個詞吧？我們不得不想到，維納斯女神的斷臂雕像。
如果不是斷臂，它只是普通西方女人的雕像，誰也記不住，可是一斷臂，讓看過的人終生難忘。那麼數學上有沒有這樣的事情呢？
1637年費爾馬在閱讀丟番圖《算術》的拉丁文譯本，寫到：「不可能把一個正整數的三次方，分成兩個正整數的三次方之和；不可能把一個數的四次方，寫成兩個正整數的四次方之和；對正整數的更高次冪也類似。我發現了一個奇妙的證明，但這個空格太小了，寫不下。」
這就是所謂的費爾馬大定理。用公式寫就是，對大於2的整數n，不存在正整數abc，使得a的n次冪加b的n次冪等於c的n次冪。其實費爾馬自己只證明了n等於4的情形。歐拉證明了n等於3的情形。1995年，由當時在普林斯頓大學的Andrew wiles教授所證明。他現在在英國牛津大學。
由於沒有看到費爾馬留下的證明，人們嘗試證明它的過程中發展了代數數論、橢圓曲線理論、Hecke代數理論等。
如果費爾馬真的證明了並把證明留下來，那麼這些理論的發展很可能延緩，所以這就是數學的「殘缺美」。
還有沒有解決的數學難題嗎？有。對我們中國來講，最熟悉的就是哥德巴赫猜測。
一個大於2的偶數都可以寫成兩個素數之和，這就是所謂的「1加1」問題。例如4等於2加2，6等於3加3，8等於3加5，10等於3加7，也等於5加5，12等於5加7等等，人們用計算機驗證了所有小於等於4乘10的18次方的偶數，結論都對，可是到現在為止，人們仍然無法證明它。
1973年，我國著名的數學家陳景潤證明，一個大於2的偶數可以寫成兩個素數之和，或一個素數加上兩個素數之積。這就解決了所謂的1加2問題，這是該方向迄今為止最好的結果。
除此之外，還有一個問題叫做孿生素數猜測，存在無窮多個素數p，使得p+2也是素數，這是個千古之謎。到2013年，華人數學家張益唐證明了存在無窮多個素數，使得從p到p加7000萬這個區間內也含素數，這是數論領域裡面一項革命性的工作。
在這之前人們不知道是否有這樣的有限區間存在，在這之後格林和陶哲軒等人用張益唐的方法把7000萬改到200，取得了很大的進展，但是離最後的結果2還相差很遠，算法上還需要改進。
我們常看到星星，可能沒注意到有一個多體問題。物理學家和數學家一直試圖找出相互有引力的n個物體的運動軌跡，n等於2時，已經被約翰·伯努利在17世紀解決；當n大於2時，卻至今沒有解決。
2007年我在解n個物體在一條直線上的特殊模型時，發現了具有高斯超幾何函數3個基本性質的多元超幾何函數。在1798年的博士論文中，高斯引進了著名的單變元超幾何函數，它的重要性就是由這三個基本性質導出的。
流體我們都熟悉，Navier-Stokes方程就是流體力學中基本方程。
對任意給定一個光滑的初始條件，是否有光滑的整體解，這是數學界一個長期未解決的數學問題，也稱為千禧問題，如果誰能解決就能得到一百萬美元的獎金。
未解之難題，未登之高峰
2009年我利用該方程的代數特點和運動變化，得到了一些人反映特殊物理現象的奇異解，如漩渦。當然還有許多數學問題有待人探索。
也許你會問數學家為什麼努力解決這些問題？因為這些問題是邏輯思維的標杆，解決它們就代表人類邏輯思維能力達到了新的高度，就像登山愛好者攀登高峰一樣。
1993年我去西班牙參加一個代數會議，在會議間歇期間，我問一個來自美國威斯康星大學的資深教授，為什麼在他報告的Novikov代數分類中，要假設特定的條件。他說沒有這些條件我做不出來。
回到單位我很好奇地自問，沒有這些條件的障礙在哪？在辦公室想，在家也想，都沒想出個所以然。
但在某一次登山的過程中，我又想了想，突然靈光一閃，想到了掃除這些障礙的方法。當時我覺得比別人中彩票還高興，數學家一旦解決長期沒解決的問題，這種喜悅絕對超過掙到一百萬塊錢。
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