看點：知識論（TOK）是IB的一門特色課程。它像思維體操，糾正思維的誤區，使人透視知識的邏輯和全貌，是IB課程的「靈魂」所在。下文中，有八年國際學校一線教師經驗的龔琴老師將帶我們一起來探討一下數學這門看似「枯燥」的學科，它的多樣性如何表現？又該如何在TOK中探索它的「美」。
文丨龔琴 編輯丨李臻
談到數學，我們想到更多的是其確定性，就好像1+1=2, 2+2=4，從理論上來講，屬於亙古不變，顛撲不破的真理，而恰恰也由於其確定性程度，亦使得數學本身成為國際學校IB DP靈魂課程TOK（認識論）中非常好的研究素材。
Why？因為越是看上去確定的，在TOK的課堂裡，就越值得再三斟酌。
給大家看看在TOK的課堂裡，關於數學，我們通常會和學生們討論的那些事，關於美，也關於其他。
首先，給你一個小測試，下列哪一個最能描述數學？
A 一套知識
B 一種實用工具
C 哲學的基石
D 邏輯方法的完善
E 理解自然的關鍵
F 智力遊戲
G 一種審美體驗
或者，你會都選？也可以的，看你怎麼去為你的理解辯護並正名。
數學既確定，又不確定，確定的是其各種基本定義以及演繹或歸納推理出來的各種公式，不確定的卻恰恰如查爾斯達爾文似曾說過的一句話：
「A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.」
翻譯成中文即「數學家是在黑暗的房間裡找尋一隻根本不存在的黑貓的盲人。」
「黑暗的房間，不存在的，黑貓，盲人」等，這些都暗示著與數學確定性對立的一面，而在TOK裡，數學的這種確定性尤其會遇到很多挑戰。
無論是TOK裡列出的八大認知方法（語言，情感，直覺，記憶，信仰，想像，推理，感官感知），還是其他知識領域（藝術，歷史，宗教，倫理，自然科學，人文科學，土著知識），一提到數學，可以立馬有牽一髮而動全身之感。比如：
1.數學與情感
嗯，對的，你沒看錯，數學如此理性的一個東西，也可以用來表達最不理性的情感。
比如，表達愛情：
無論是日本電影《博士的愛情方程式》中，博士說道的：
「你的生日220與我手錶的編號284，剛好是一對相親相愛的『親和數』：
220可以分解成284所有真約數的和，演算如下：
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
284可以分解成220所有真約數的和：
1+2+4+71+142=220
感覺好有愛，有木有？
還有，韓國歌手K.will有一首名為《I need you》的MV裡，出現過I Love You的數學公式：
女孩在黑板上寫了一個數學公式「128根號e980」，讓男主角解答，男主角怎麼都算不出來，於是女孩拿起刷子擦掉公式的上半部分，就變成了英文的 I Love You。
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亦或是著名哲學家兼數學家笛卡爾給他喜愛的瑞典公主寄出的最後一封情書裡的那個經典愛情公式： r=a(1－sinθ) ，有沒有感受到數學裡的優雅和浪漫？
（注意到了嗎？在極坐標中，看起來就像一個桃心，藉此表達愛意）
再與時俱進點的例子：
現在粉絲們每當喜愛的明星官宣各種消息時，就會腦洞清奇地演繹出各種數字組合：
比如：吳奇隆，劉詩詩官宣懷孕：
粉絲這麼理解：兩個人名字的諧音數字加起來，576（吳奇隆）+644（劉詩詩）=1220，也即宣布懷孕的日期。
趙麗穎，馮紹峰官宣結婚：
2018年10月16日，演員趙麗穎生日當天，在微博曬出結婚證，宣布結婚。微博發布時間為10：07，這一數字正是結婚證上男主角馮紹峰的生日。
這些細節無論是有意為之還是無心插柳，最起碼仍然感動了很多人不是嗎？
好，暫且收起八卦的心，所有的這些例子，都可以讓學生更深層次的思考：
「數學的客觀性與其主觀性，在多大程度上是可以調和的？」
2.數學與語言
思考問題：「數學如何像一門語言？」
對此，我們通常會讓學生分組去做的一個熱身活動：
步驟一: 每組發明創造出一系列代表數字的符號：
這些符號不能類似於任何其已知的數字系統
自行決定不同符號的數量（比如1-8, 1-9等）及它們可以如何與其它互相組合的方式
步驟二 : 向其他組解釋其數字系統，並向大家展示：
如何表示： 5, 23, 39, 118 （任何其他數字都可）
讓其他組用其符號系統，解決至少兩至三個類似的隨機例子
怎麼樣？你的腦海裡現在會想到什麼？
活動真正做完，你會發現學生們對於數學作為語言符號之一的理解會變得立馬生動及有趣許多。
給你們看學生們給出的兩組具體例子：
當然，如果活動及思考的問題僅止於此，未免太過膚淺。
接下來，我們需進一步帶領學生繼續思考的問題可以有如下：
給事物賦予價值有什麼好處？
為什麼我們通常使用的數字系統都以10為基礎？
數字0的存在有什麼益處？（比如：正數與負數的界限）
0與nothing(無)有什麼區別？（比如：nothing代表不存在，而0是真實存在）
繼續來看：
3.數學與推理/記憶
這是我經常會給學生放的一個視頻：《亞瑟.班傑明的數學魔術表演》
看完之後，你的感想？
面對電腦的挑戰，班傑明的表演讓人不得不嘆為觀止。可如果你看了很多期國內《最強大腦》的類似表演，會不會覺得也沒什麼大驚小怪的？
關於記憶，推理，數學在電腦裡，在人腦裡，都到底分別經歷了一場什麼樣的旅程？其扮演的角色又是怎樣的？這都是我們需要思考的。
4.數學與藝術
關於數學與藝術，一個很有趣的例子會是圍繞圓周率π的討論：
網上有一首名為《圓周率之歌》的MV，歌曲背景及創作靈感，網上自己搜，這個視頻的文字部分其實也有很多解釋。
可以藉此引出的探討：
」你覺得圓周率π的表達/闡述（永無止盡），永遠存在，並且我們正在逐漸發現關於它的越來越多的知識嗎？「
此外，埃及金字塔的黃金比例也可以是拿來探討數學與藝術之間很好的一個例子，我們藉此可以討論「』美『在數學中有多重要？「這樣的問題。
5.數學與歷史
可思考的問題：「數據在歷史中扮演著何種作用？」
毫無疑問，由此可帶出的例子簡直太多了，數據既可以佐證歷史，也可以誤導過去的事實。限於篇幅，不再舉例。
但數學本身的發展史也是歷史，無論是前蘇聯科學院院士A·H·柯爾莫戈洛夫曾把數學發展史劃分為四個階段，還是我國遠古時代的結繩記事，彩陶裡等大量多邊形的的對稱圖案，還是後來的阿拉伯數字，四則運算的引進，我們藉此引出的思考還可以有：
「數學知識能被稱為所有知識體系中最具國際性的嗎？」
「西方數學理論與東方數學理論有分歧嗎？」
「亞洲學生被期望在數學方面做得很好。這一期望的依據又是什麼？」
......
6.其他
除此，我們還經常會思考的一些問題包括但不局限於：
數學是被發現的還是被發明的？
如何解釋文化或政治對數學知識的影響？
數學真理是否存在於神的思想中？（宗教）
基本的倫理真理和基本的數學真理一樣確定嗎？（倫理）
大自然/關於自然的書是用數學的語言書寫的嗎？（自然科學）
數學模型在人文科學中有多有用？（人文科學）
你覺得政府在多大程度上應支持「純數學」裡的無用研究？
......
可以知道的是，你會有很多答案，每個人都會有。
至此，希望能幫大家感受到除卻數學那層高冷麵紗後的一些奇妙及溫柔之美。
另外，我猜，你們以為我精通數學，對不對？
相反，本人數學其實很差，可這並不妨礙我與學生們就此話題在TOK課堂裡展開的某些探討。
所以，除了數學本身，還想讓大家知道的是：
TOK老師並非是要集大成的專家，老師亦無法要求且無需讓學生去成為所有領域的通才，但具備開放的心及頭腦，持續發問的精神，外加內省這個步驟，你，我也許都可以在無意識中沾一沾這個所謂的神秘課堂裡的某些光芒。
那些看不見的光芒，隱形的翅膀，可以帶我們飛得更高，走得更遠一點。共勉！