黎曼猜想或被量子力學解決?阿蒂亞用了什麼方法?

2021-02-28 和樂數學

編者按：近兩日的大事件是 1. 阿蒂亞將演講黎曼猜想的證明；2. 舒爾茲等指出望月新一關於abc猜想的證明不真。這兩件事情完全碾壓了剛上頭條的馬雲支持數學事件。具體參考本號文章：

巨人大戰：abc猜想還是abc猜想|最年輕菲爾茲獎得主舒爾茲說

震驚！阿提亞爵士證明了黎曼猜想？哈代式玩笑還是晚節不保？

馬雲明白數學很重要了|11個數學大家給馬雲連夜補課

世人現在的目光都聚集在9月24日的海德堡。不過，我們可以猜一猜阿蒂亞可能使用的證明。

阿蒂亞j提交的報告摘要中沒有透露太多消息，只說是簡單，新的方法，但基於馮·諾依曼（1936），希策布魯赫（1954）與狄拉克（1928）的工作。考慮到狄拉克是量子力學學者，或許阿蒂亞使用了來自量子力學中的方法。

其中的關鍵是使用合適的算子。

下面是網絡上的一篇介紹2017年的文章

Carl M. Bender, Dorje C. Brody, and Markus P. Müller. "Hamiltonian for the Zeros of the Riemann Zeta Function." Physical Review Letters.， 2017  DOI: 10.1103/PhysRevLett.118.130201 

的文章。上述文章提供了一個解決黎曼猜想的途徑。

1999年，數學家Michael Berry和Jonathan Keating在研究Hilbert-Pólya猜想時提出了另一個重要猜想。如果存在這樣一個算符，那麼其獨特屬性應符合理論量子系統。這就是後來的Berry-Keating猜想。

2017年，來自美國、加拿大和英國的三位數學家 (Carl Bender, Markus Müller, Dorje Brody) 走出了這一步。他們通過量子機制來解決這一問題，所借用的正是上述概念，即存在一個量子系統，其能態和ζ函數中假設的零點對應。與量子物理的結合，使得這一問題變得更加有趣。

「我們確定了Berry-Keating哈密頓算符的一個量子化條件，從而證實了Berry-Keating猜想的有效性。」 Brody介紹。他們確定的是一個被稱作哈密頓算符 (Hamiltonian operator) 的實分量（記為H），這可以作為這種量子系統存在證據的關鍵。

「如果這些分析能夠得到充分說明，表明H是顯然自伴的，那麼這將意味著黎曼的假設是正確的。」

通常，哈密頓函數被用來描述物理系統的能量。但是，新提出的算符並非用來形容任何物理系統的，可以說這是一個純粹的數學函數。Brody自己也覺得：「這可能有點令人失望，這樣一個哈密頓函數似乎並不能表示任何一個物理系統，至少我們目前尚未發現它與任何物理系統相匹配。」

也許有人注意到了，為什麼這篇文章發到了PRL上面？Brody自己是這樣解釋的：論文中一些啟發式分析所用到的很多技巧都來自偽厄米的PT-對稱量子理論。通常，人們對Hilbert-Pólya猜想的理解是哈密頓算符應該是厄米算符，這很容易讓人將其和量子理論聯繫起來，因為哈密頓算符往往要求是厄米算符。我們所提出的是Hilbert-Pólya問題的偽厄米形式，因為這看起來值得深入探索。

接下來的重要問題是表明算符的本徵值為實數。一般來說，研究人員可能會樂觀地認為本徵值就是實數，他們也會基於量子物理中的PT-對稱概念來論述這一問題。按照PT-對稱的概念，你可以改變時空系統（三維空間和一維時間）所有四維實數的符號，如果系統是PT-對稱的，那麼得到結果看起來和原來是一樣的。

雖然自然界中基本上沒有PT-對稱，物理學者們構造的算符卻是符合這種條件的。不過現在，研究人員希望打破這種對稱。如果算符虛數部分的PT-對稱可以打破，那麼就意味著其本徵值將全部為實數，從而構成了黎曼猜想的證據。

總而言之，如果存在這樣一個系統，那麼黎曼假設將立即適用。這一想法值得數學家引起重視，但它到底能否作為解決最重要的純數學問題之一的鑰匙，學界人士尚沒有做出最終論斷。用紐約大學數學家Paul Bourgade的話說：

「我需要更多的時間才能對這一發現的重要性給出意見，這可是關乎黎曼假設的事情。」

本文參考了：http://www.360doc7.net/wxarticlenew/648669359.html

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