在「芝諾悖論」裡人追不上烏龜,根據悖論我們將走不到馬路對面

宇宙到底是有限還是無限，從邏輯角度思考這一問題的任何嘗試，最後都讓早期宇宙學家陷入了難以自拔的深深困惑。時至今日這個問題也沒有一個很好的答案。但關於無限宇宙說在牛頓時代就帶來了一個困惑，那時人們就意識到引力會讓宇宙自發坍縮，對於這個問題牛頓為了穩定宇宙，向上帝伸出了援手。其中最著名的一道難題是本特利悖論，得名於跟牛頓同時代的一位名叫理察·本特利(Bentley)的人。

本特利悖論—宇宙應該自發坍縮

本特利是一名學者，跟同時代的許多人一樣，他有一個神學學位，後來他又在劍橋的三一學院獲得了碩士學位。儘管本特利是一位古典學者和神學家，但在17世紀90年代，他花過一段時間講授牛頓的物理學，還跟牛頓就一些問題互通過信函，其中就有他的悖論。

無限大的宇宙有無限大的引力？在牛頓的萬有引力思想剛剛廣為人知之時，把它應用在宇宙學上得到的後果似乎令人堪憂。如果所有東西都像牛頓說的那樣相互吸引，本特利認為，隨著時間的推移，每一顆恆星和行星都將被拉扯得相互靠近。最終，整個宇宙都會自我坍縮。如果宇宙無限大，情況只會變得更糟。這樣一來，引力的總和本身就會無窮大，使得地球和太陽之類的天體不可能不被引力可怕的潮汐力撕成碎片。

如果真像本特利描述的那樣，我們的宇宙無限大，帶來無限大的引力，那宇宙將自發的坍縮，可事實上星系並沒有大撞車。我們依舊活得好好的。

芝諾悖論—人兔賽跑，說明宇宙引力並非無窮大

關於引力無窮大這個問題並不是十分確定，這源於一個自古希臘時代就存在的數學戲法，即芝諾(Zeno)當年用大英雄阿喀琉斯(Achilles)和一隻烏龜之間的賽跑來描述的一個悖論。阿喀琉斯可以說是他那個時代跑得最快的人，相當於如今的體育明星。他跟笨拙遲緩的烏龜進行了一場賽跑。考慮到伊索寓言—龜兔賽跑(大致與芝諾悖論出現在同一時代)裡那場賽跑的結果，最後烏龜勝出也不至於太出人意料，畢竟烏龜都能跑贏兔子。但是與龜免賽跑結果不同的是，人的失敗不是由懶惰和傲慢帶來的。相反，給烏龜戴上勝利者桂冠的，是芝諾所採用的一種極端的運動機制。

人無法超感烏龜芝諾假設，阿喀琉斯非常大度地讓烏龜先行；畢竟這很難說是一場公平的較量，而且阿喀琉斯還是一位大英雄。他允許烏龜在他前面相當遠的地方開始起跑。一段短到驚人的時間之後(阿喀琉斯確實跑得飛快),我們的田徑明星就抵達了烏龜的起點。不過，到此時為止，不管烏龜爬得有多慢，它都已經向前移動了一小段距離。它仍在領先。一段更短的時間之後，阿喀琉斯抵達了烏龜剛才的位置，但這段時間又讓烏龜有機會向前挪動了一點。比賽就這樣永無止境地持續下去，這就在邏輯上證明，阿喀琉斯始終在追趕烏龜，卻永遠無法趕超。

和值無法超過2的數列這個悖論反映的是，無窮多個數加在一起有可能得到一個有限值。只要想想這樣一串數列相+：

1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64……

數列中的每一個數都讓數列的和離數字2越來越近，但永遠不會真正加到2。這個數列每一步的和依次是：

1,11/2,13/4,17/8,115/16,131/32,163/64等等。

設想你已經加了上萬億項，現在加到了第n項。那麼，「和」就應該是1+[(n-1)/n)。如果一個數列中的數變小的速度足夠快，那麼總和就只會是一個有限數。你大可把這個數列儘可能多地加下去，甚至加完無窮多項，但你得出的總數仍然永遠不會超過2。這種不斷的等分數列也可以說明，一條線可以無限等分，那我們穿過一條馬路就需要無限多步，這意味著我們根本走不到路對面。

無限的宇宙，有限的引力這樣一種有限的數列值可能為下面的想法提供了一個藉口，即無限的宇宙可能不一定會產生無限的引力，因為引力會隨著物體的遠離而減弱。它減弱的速度足夠快，就能夠產生出這樣的數列，因此或許無窮多顆恆星和行星仍然只會施加一個有限的引力。就算說明了引力並非無窮大，這也解決不了引力讓宇宙坍縮的問題，也無法解決本特利最初提出的問題，即為什麼所有的東西沒有在一場恆星行星大車禍中碰撞在一起。關於這個問題牛頓也給出了自己的答案。

牛頓再一次向上帝伸出援手

事實上，牛頓更喜歡宇宙無限這個想法。他向本特利提議，如果所有東西都均勻分布在宇宙當中，讓所有方向上的引力都相互抵銷，本特利悖論就可以破解，所有東西都能保持穩定。然而，牛頓知道這種情況有多麼脆弱：只要有一顆行星或者恆星的位置稍稍偏離一些，整個體系就會帶著越來越大的動量衝撞在一起。

上帝之手

總結一下：為了尋找解答，牛頓轉而向上帝求助。與他那個時代的大多數科學家一樣，牛頓有著虔誠的宗教信仰。他相信這種勢能不穩定性不成問題，因為上帝之手始終把持著宇宙的舵杆，能夠持續不斷地微調以保證宇宙這一機械裝置的正常運轉。這裡包含了非常複雜的隱喻，我覺得你能明白其中的意思。