任何人在數學中學到的第一個定理是勾股定理（西方人稱畢達哥拉斯定理）：如果有一個直角三角形，那麼最長邊(斜邊)的平方總是等於另外兩條邊的平方和。它適用的第一個整數組合是邊為3、4和5的三角形：3^2+4^2=5^2。還有其他的整數組合，包括：
5 、12、13，6 、8 、10，7 、24、25，但是3、4、5是特殊的：它們是唯一遵循勾股定理的連續整數。事實上，他們是方程a+ b= c唯一連續整數解。你可以想像一下，可能會有連續的整數，滿足一個更複雜的方程，像a+ b+ c= d+ e。值得注意的是，有一個且只有一個解：10+ 11+ 12= 13+ 14。這是為什麼？
如果取直角三角形任意兩條邊的平方和，它總是等於斜邊的平方。但這種關係遠不止一個簡單的方程。其中最深刻的方式來看待勾股定理是考慮在一個邊長為b的正方形，其面積是b，因為廣場的長度和寬度相乘。如果我們想找到一組連續的整數a、b、c，滿足a+ b= c，那這對a和c的限制很大。
這意味著c必須等於(b + 1)而a必須等於(b - 1)這是一個我們可以用代數就能解出的方程。
(b — 1) + (b) = (b + 1),
b — 2b + 1 + b = b + 2b + 1
b — 4b = 0.
因此，b=0或4，4使我們回到勾股定理3+4=5。
「b」(藍色)邊的一個正方形可以分成四個部分。如果沿著邊長為「b-1」的正方形(黃色)的邊長正確地疊加，可以得到邊長為「b+1」的正方形(綠色)，這是另一種證明勾股定理的方法。也可以用圖像來解決。將一個邊長為b的正方形分解為4個寬為1（1個單位）長為b的長方形。可以把這四個長方形加到邊長為（b-1）的正方形的四條邊（如上圖），然後將得到一個邊長為（b+1）的正方形。
邊長為3、4、5的直角三角形，第一個滿足勾股定理的連續整數集。但為什麼要限制在三個數字上呢？對於任意奇數個連續整數，你可能會找到滿足這種關係的連續整數，例如:
a + b = c,a + b + c = d + e,a + b + c + d = e + f + g,
方程10+ 11+ 12= 13+ 14，兩邊都等於365。如果你看第二個方程：a+ b+ c= d+ e，會發現有且只有一組連續整數解：10+ 11+ 12= 13+ 14。左邊是100 + 121 + 144，加起來是365；右邊是169 + 196，加起來也是365。
如果想用代數來解這類方程，還是可以解出來的，但可能要花點時間。最終找出中間的數，必須12或0，因此解釋10+ 11+ 12= 13+ 14。
但是如果我們回到前面的圖形方法，我們可以用一種非常直觀的方式找到解決方案。
類似地，如果我們想要解構一個正方形並使用它來將兩個較小的正方形變成兩個較大的正方形。就像之前一樣，我們將取中間的「正方形」(其邊長為c)，並將其分成1個單位寬的長方形。然而，這次我們有兩個正方形，我們需要把這些長方形變成更大的方塊：
將一個較小的正方形[其邊長為(c - 1)]轉換成一個較大的正方形[其邊長均為(c + 1)]，並且把一個更小的正方形[其邊長都是(c - 2)]變成一個更大的正方形[其邊長都是(c + 2)]。為了完成第一個正方形，就像前面一樣，我們總共需要四行1個單位的寬度的長方形小來完成。但是為了完成第二個正方形，我們需要四個2個單位寬的長方形。
如果我們想用一個大小為「c」的正方形來把兩個較小的正方形(c-1)和(c-2)變成兩個較大的正方形(c+1)和(c+2)，我們需要在這個中等大小的正方形邊放置12個單位。總而言之，這僅在中間「正方形」的邊長為12個單位時才有效，這就是為什麼我們得到等式10+11+12=13+14。如果直線是12單位乘1單位，那麼您可以採用其中的4個（4×12 = 48）並將11轉換為13，因為121 + 48 =169。類似地，可以採用8條這樣的線（8× 12 = 96），然後將10轉換為14，因為100 + 96 =196。這是方程a+b+c=d+ e 的連續整數的唯一解。
此時，您可能會開始看到一種模式，從數學的角度來看，這總是很有趣的。如果我們繼續擴展此方程式以包含更多數字的解，我們將更清楚地看到它：
換句話說，我們如何找到方程a + b + c + d = e + f + g的解？
求四個連續的完全平方數的和並要求它們等於後面三個完全平方數的和。是我們可以寫出的代表勾股定理的第三個可能的方程。如果我們採取類似的方法，現在有三個正方形我們需要變成更大的正方形：
把邊長為(d-1)正方形變成邊長為（d+1）的正方形，需要4個長為d、寬為1的長方形，把邊長為(d-2)正方形變成邊長為（d+2）的正方形，需要8個長為d、寬為1的長方形，現在，我們需要中間的那個「正方形」的長度是4 + 8 + 12 = 24，這就給了我們一些我們認為應該是這個方程的解的答案。如果它是正確的，那麼21+ 22+ 23+ 24= 25+ 26+ 27。我們算一下，得到441 + 484 + 529 + 576 = 625 + 676 + 729，這是對的。兩邊都等於2030，也就是說它們相等。
方程a+ b+ c+ d= e+ f+ g的圖解。這些類型的序列在數學中有一個特殊的名稱，可以一直追溯到畢達哥拉斯定理（勾股定理）和3+4=5的原始解。序列中的中間數可以保持到無窮大：4、12、24、40、60、84、112……。因此，如果您想知道下一個序列滿足這些類型的方程式的數字是：
36+ 37+ 38+ 39+ 40= 41+ 42+ 43+ 44,55+ 56+ 57+ 58+ 59+ 60= 61+ 62+ 63+ 64+ 65,78+ 79+…+ 83+ 84= 85+ 86+…+ 89+ 90,等等。這個看似瘋狂的數學巧合其實有一個深刻而直接的解釋。
一年有365天,和10+ 11+ 12= 13+ 14= 365。然而，這個數學事實與我們的日曆沒有任何關係，也與我們星球的自轉和繞太陽公轉沒有任何關係。相反，在這裡，一年中的天數是純粹的巧合，但數學關係是畢達哥拉斯幾何學的直接結果，比代數更容易形象化。
畢達哥拉斯開始的a+ b= c，3, 4, 5組是唯一的連續整數解。我們可以把它推廣到無窮大，對於每一個有奇數項的方程我們可以寫下來，只有一個連續整數的唯一解。這些畢達哥拉斯式的運行有一個聰明的數學結構來控制它們，通過了解方塊是如何工作的，我們可以看到為什麼它們不可能以其他任何方式運行。