雙星系統

2021-01-15 高中物理微課室

名校自主招生物理講座

雙星系統

文|小河

題面：

經過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經發現了許多雙星系統，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形式和分布情況有了較深刻的認識，雙星系統由兩個星體構成，其中每個星體的線度都遠小於兩星之間的距離，一般雙星系統距離其他星體很遠，可以當作孤立系統處理，現根據對某一雙星系統的光度學測量確定，該星系統中每個星體的質量M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點作圓周運動。

（1）試計算該雙星系統的運動周期T計算；

（2）若實驗上觀測到的運動周期為T觀測，且T觀測∶T計算=1∶（N＞l），為了解釋T觀測與T計算的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗 物質，作為一種簡化模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均這種暗物質，而不考慮其他暗物質的影響，試根據這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度。

題解：

（1）雙星均繞它們的連線的中點作圓周運動，設運動速度為v向心加速度滿足下面的方程：

解得：

周期：

（2）根據觀測結果，星體的運動周期：

這說明雙星系統中受到的向心力大於本身的引力，故它一定還受到其他指向中心的作用力，按題意，這一作用來源於均勻分布的暗物質，均勻分布在球體內的暗物質對雙星系統的作用與一質量等於球內暗物質的總質量M'、位於中點處的質點相同，考慮暗物質作用後雙星的速度即為觀察到的速度v觀，現有：

於是：

因為在軌道一定時，周期和速度成反比：

聯立得：

設所求暗物質的密度為ρ，則有：

於是解得：

評註：

雙星系統相互作用依舊是通過萬有引力相互作用，主要的易錯點有兩個方面：萬有引力計算時用雙星間距，對每一顆星分析用動力學方程列式時需要用到軌道半徑；雙星周期相等，角速度相同。


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