馬克思數學手稿:寶貴的歷史文獻

人們熟悉馬克思的名言：一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了。馬克思對數學的興趣和鑽研程度如何，他到底懂多少數學？本文摘編自孫小禮《馬克思數學手稿：寶貴的歷史文獻》。馬克思數學手稿（部分）在我國翻譯出後，有兩種不同的看法：一是過分抬高，認為馬克思運用辯證法為微積分奠定了理論基礎；另一相反的看法，認為馬克思不懂微積分，其數學手稿沒有什麼學術價值。本文說明這兩種看法都太極端，馬克思把數學當作經濟學研究的重要工具和辯證法的重要源泉，研讀數學又是馬克思的獨特精神休養方式。馬克思數學手稿是一份有特殊價值的歷史文獻。

恩格斯稱馬克思為「科學巨匠」。他說，馬克思研究的科學領域是很多的，而且對任何一個領域都不是膚淺地研究的，甚至在數學領域也有獨到的發現。[1]（P574—575）

馬克思一生酷愛數學，從19世紀40年代起，直到逝世前不久，數十年如一日地利用閒暇時間學習和鑽研數學，給我們留下了近千頁數學手稿，其中有讀書摘要、心得筆記和述評，以及一些研究論文的草稿。20世紀30年代以後，馬克思的數學手稿和其他手稿一起，一直保存在荷蘭首都阿姆斯特丹的國際社會史研究所的檔案館中。

數學研究緊密結合經濟學研究

起初，馬克思在與恩格斯和其他人的通信中討論初等數學問題居多。例如，他在1864年的一封信中有關於數字計算的議論：「可以看出：不太大的計算，例如在家庭開支和商業中，從來不用數字而只用石子和其他類似的標記在算盤上進行。在這種算盤上定出幾條平行線，同樣幾個石子或其他顯著的標記在第一行表示幾個，在第二行表示幾十，在第三行表示幾百，在第四行表示幾千，餘類推。這種算盤幾乎整個中世紀都曾使用，直到今天中國人還在使用。至於更大一些的數學計算，則在有這種需要之前古羅馬人就已有乘法表或畢達哥拉斯表，誠然，這種表還很不方便，還很繁瑣。因為這種表一部分是用特殊符號，一部分是用希臘字母（後用羅馬字母）編製成的。……在作很大的計算時，舊方法造成不可克服的障礙，這一點從傑出的數學家阿基米得所變的戲法中就可以看出來。」[2]（P650）

馬克思關於數學的筆記和他研究政治經濟學的材料有緊密的聯繫。在1846年的一個經濟學筆記本中，最後幾頁全是各種代數運算；在以後的許多筆記本中也都記有數學公式和圖形，還有整頁整頁的算草；在為撰寫《政治經濟學批判大綱》準備材料的筆記本中他畫了一些幾何圖形，記錄了關於分數指數和對數的公式。

1858年1月11日馬克思在致恩格斯的信中說：「在制定政治經濟學原理時，計算的錯誤大大地阻礙了我，失望之餘，只好重新坐下來把代數迅速地溫習一遍。算術我一向很差，不過間接地用代數方法，我很快又會計算正確的。」[4]（P247）馬克思曾為自己能把高等數學的某些公式用於經濟學的研究而深感高興。1868年1月8日馬克思寫信給恩格斯談到工資問題的研究時，他說：「工資第一次被描寫為隱藏在它後面的一種關係的不合理的表現形式，這一點通過工資的兩種形式即計時工資和計件工資得到了確切的說明（在高等數學中常常可以找到這樣的公式，這對我很有幫助）。」[5]（P12）

看來，馬克思的數學興趣與他希望把數學運用於經濟學研究有關。在1873年5月31日給恩格斯的信中談到經濟危機的研究時，他說：「為了分析危機，我不止一次地想計算出這些作為不規則曲線的升和降，並曾想用數學公式從中得出危機的主要規律（而且現在我還認為，如有足夠的經過檢驗的材料，這是可能的）。」[6]（P87）在《資本論》中我們也能看到數學的運用，據拉法格回憶，馬克思曾經強調說：一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了。[7]（P8）我理解，馬克思這裡所說的運用數學，不僅僅是運用數學的計算方法，而且也要運用數學的思維方法和論證方法。

對微積分的學習、思索和歷史考察

19世紀60年代以後，馬克思陸續閱讀了一大批微積分方面的書籍，其中有布沙拉（J．L．B．ucharlat）、辛德（J．Hind）、拉庫阿（S．F．Lacr．ix）、霍爾（G．Hall）等人各自編寫的微積分教科書，還有牛頓有關的數學原著等等，寫下了詳細的讀書筆記。馬克思對這些教科書進行比較，開始了自己對於微分學中一些問題的獨立的思考。於1881年前後，馬克思撰寫了關於微分學的歷史發展進程、論導函數概念、論微分以及關於泰勒定理等問題的研究草稿，而且對於這些問題都曾寫過多遍草稿，例如，關於泰勒定理留下了八份草稿。

馬克思把微分學看作科學上的一種新發現、新事物，考察它是怎樣產生的，產生以後遇到一些什麼困難，經歷了怎樣的曲折發展。馬克思對微積分有過一段生動的而又富有哲理的描述：「人們自己相信了新發現的算法的神秘性。這種算法通過肯定是不正確的數學途徑得出了正確的（尤其在幾何應用上是驚人的）結果。人們就這樣把自己神秘化了，對這新發現評價更高了，使一群舊式正統派數學家更加惱怒，並且激起了敵對的叫囂，這種叫囂甚至在數學界以外產生了反響，而為新事物開拓道路，這是必然的。」[8]（P88）

馬克思把從牛頓（1642—1727）、萊布尼茨（1646—1716）創建微分學到拉格朗日（J．L．Lagrange1736—1813）的發展，約一百多年的發展過程分為三個階段，分別稱為：「神秘的微分學」、「理性的微分學」、「純代數的微分學」。在牛頓和萊布尼茨時期，新生的微積分很快在應用上獲得了驚人的成功，但是從舊的傳統數學看來，這種新算法，比如微分過程，正是通過不正確的數學途徑得到正確的結果的。在同一個公式的推導過程中Δx和dx既作為有限的量，卻又消失為零，在邏輯上顯示出矛盾；時為什麼能有確定的值，等等，都不能從理論上給出合理的解釋。人們認為微分學是神秘的。牛頓和萊布尼茨，以及後繼者們都希望給微分學找到合乎邏輯的說明，他們為此付出了很大的努力。以達朗貝爾（J．L．R．D』Alembert，1717-1783）為代表的「理性的微分學」和以拉格朗日為代表的「純代數的微分學」，都是這種努力的一定階段的成果。馬克思指出：「這裡，像在別處一樣，給科學撕下神秘的面紗是重要的。」[8]（P139）

馬克思力圖運用辯證法觀點去分析微分學的困難。他認為「理解微分運算時的全部困難」，「正像理解否定之否定本身」一樣，要把「否定」理解為發展的環節，並且要從量和質的統一看待量的變化。在微分過程中，在量的否定，比如量的消失中，看到其間仍保存著特定的質的關係，即y對x的函數關系所制約的質的關係。因此，當增量Δx變為零，Δy也變為零，時能具有特定的值，即導函數。馬克思說，要把握的真正含義，「唯一的困難是在逐漸消失的量之間確定一個比的這種辯證的見解。」[9]（P16）

馬克思以比較簡單的多項式函數的微分過程為例，參照比較了多種教科書，運用上述觀點，選擇了一種具體的推導步驟以說明這種函數的微分過程的合理性，從而說明微分學的神秘性是可以擺脫的。這樣的內容，現在看來固然是很淺顯的，也不足以說明一般函數的微分過程。但這也是馬克思為撕下微分學的神秘面紗所做的一份歷史性的努力。

馬克思曾勸說恩格斯研究微積分。他在1863年7月6日給恩格斯的信中說：「有空時我研究微積分。順便說說，我有許多關於這方面的書籍，如果你願意研究，我準備寄給你一本。我認為這對於你的軍事研究幾乎是必不可缺的。況且，這個數學部門（僅就技術方面而言），例如同高等代數比起來，要容易得多。除了普通代數和三角以外，並不需要先具備什麼知識，但是必須對圓錐曲線有一個一般的了解。」[2]（P357）

馬克思對高等數學的興趣和鑽研影響和帶動了恩格斯，1865年以後，他們在通信中討論得更多的則是微積分方面的問題了。馬克思在一封給恩格斯的信的附件中說：「全部微分學本來就是求任意一條曲線上的任何一點的切線。我就想用這個例子來給你說明問題的實質。」馬克思是用求拋物線y^2=ax上某一點m的切線的例子，認真畫了圖，向恩格斯作詳細講解的。[3]（P168—169）

1881年馬克思把一份「論導數概念」的手稿和一份「論微分」手稿謄抄清楚，先後寄給了恩格斯。恩格斯認真閱讀了這些手稿，於1881年8月18日給馬克思寫了一封很長的討論導函數的回信，信中說：「這件事引起我極大的興趣，以致我不僅考慮了一整天，而且做夢也在考慮它：昨天晚上我夢見我把自己的領扣交給一個青年人去求微分，而他拿著領扣溜掉了。」[10]（P21—23）

在馬克思的影響下，恩格斯對微積分也越來越有興趣了，他在《反杜林論》、《自然辯證法》等哲學著作中，不但大段大段地談論微積分，精闢地分析高等數學與初等數學的區別，而且還有對於微積分的高得不能再高的讚譽：「在一切理論成就中，未必再有什麼像十七世紀下半葉微積分的發明那樣看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那就正在這裡。」[11]（P611）

從數學中學習辯證法

馬克思和恩格斯都非常明確地認為，數學是建立辯證唯物主義哲學的一個重要基礎。恩格斯指出：「要確立辯證的同時又是唯物主義的自然觀，需要具備數學和自然科學的知識。」[12]（第三版序言）

在舊哲學中，黑格爾是論述數學比較多的。恩格斯曾經指出：「黑格爾的數學知識極為豐富，甚至他的任何一個學生都沒有能力把他遺留下來的大量數學手稿整理出版。據我所知，對數學和哲學了解到足以勝任這一工作的唯一的人，就是馬克思。」[3]（P471）馬克思忙於自己的研究和革命活動，並沒有承擔這一工作。不過，他在數學手稿中把微分學的發展同德國唯心主義哲學的發展聯繫起來，作了有趣的對比。當他探討牛頓、萊布尼茨與他們的後繼者的關係時，他說：「正像這樣，費希特繼承康德，謝林繼承費希特，黑格爾繼承謝林，無論費希特、謝林、黑格爾都沒有研究過康德的一般基礎，即唯心主義本身；否則他們就不能進一步發展康德的唯心主義。」[8]（P88）

馬克思把研究數學作為豐富唯物辯證法的一個源泉。他通過自己對數學的多年鑽研，深有體會地認為，在高等數學中，他找到了最符合邏輯的同時又是形式最簡單的辯證運動。在馬克思的數學手稿中能夠看到這方面的記述。

數學手稿的出版、翻譯和人們的看法

馬克思曾經打算把自己對數學的一些研究成果寫成正式論文，但他反覆改寫了多遍草稿，卻沒有來得及寫完。他生前曾囑咐小女兒愛琳娜：「要她和恩格斯一起處理他的全部文稿，並關心出版那些應該出版的東西，特別是第二卷（按：指《資本論》第二卷）和一些數學著作。」[13]（P42）馬克思逝世以後，恩格斯也曾希望把自己在自然辯證法方面的研究成果同馬克思遺留下來的數學手稿一齊發表。[11]（第三版序言）但是由於他肩負著整理出版馬克思的最重要的著作——《資本論》第二卷、第三卷的重任，上述願望沒有能夠實現。

馬克思關於微分學的幾篇論文草稿和一些札記於1933年譯成俄文與讀者見面，即在紀念馬克思逝世五十周年的時候才第一次發表在蘇聯的理論刊物《在馬克思主義旗幟下》，隨後收入文集《馬克思主義與自然科學》。1968年在前蘇聯出版了馬克思數學手稿的比較完全的德俄對照本[14]，書中對各個時期的手稿寫了較詳細的記述。此外，對馬克思的數學手稿，還陸續出版過內容和編排不一的德文本、日文本、義大利文本等等。在國際學術界引起了學者們的重視和興趣。如日本的玉木美彥、今野武雄早就撰文介紹過馬克思數學手稿的內容。1977年在西德召開的國際數學史會議上，美國學者甘迺迪（H．C．Kennedy）作了題為《馬克思與微積分基礎》的學術報告。美國著名數學史家斯特洛依克（D．J．Struik）1978年在《數學評論》雜誌上寫文章介紹了這篇報告。前幾年，還有美國科學史方面的研究生在研究馬克思數學手稿的傳播和影響。

在我國，早從1949年起，許默夫就發表過關於馬克思數學手稿的文章（註：許默夫的有關馬克思數學手稿的幾篇文章，先後發表在《東北日報》（1949年5月5日）、《自然科學》（1951年第1卷）、《數學通報》（1958年第12期）、《新科學》（1955年第2期）等報刊上。），後來有些學者從日文本或俄文本將部分內容翻譯過來。1973年1月北京大學成立了馬克思數學手稿編譯組，依據蘇聯1968年出版的德俄對照本進行翻譯。為了翻譯準確，為了能從德文原文直接譯成中文，北京大學於1974年通過外交途徑從荷蘭購得全部數學手稿原件的複印照片，將其中關於微積分的大部分論述和部分初等數學札記翻譯成中文，編排成書，由人民出版社於1975年正式出版。（註：1973年1月，當時馬克思恩格斯列寧著作編譯局的負責人王惠德同志把一本《馬克思數學手稿》（1968年的德俄對照本，是一位瑞士記者送給他的）交給了孫小禮，建議由北京大學來組織翻譯。北大欣然接受這一建議，立即成立了北京大學馬克思數學手稿編譯組，由鄧東皋、孫小禮具體負責，動員了數學系、西語系、俄語系、哲學系的教師參加翻譯工作，德文方面有江澤涵、姚保琮、冷生明、丁同仁等人，俄文方面有吳文達、黃敦、郭仲衡、鮑良駿、顏品中等人。1974年3月譯出了馬克思關於微積分的大部分論述，請于光遠、胡世華、陸汝鈐和編譯局楊彥君等同志幫助校對後，於1974年5月由北京大學學報印出專刊：馬克思數學手稿（試譯本）。1974年冬購得馬克思數學手稿原件的照片後，由諳悉德文的江澤涵、姚保琮兩位教授仔細辨認馬克思原稿手跡，同冷生明、丁同仁、鄧東皋等人反覆討論推敲，對原來的譯文進行核校、修改和補充。最後又請北京師範大學的張禾瑞教授、蔣碩民教授對全部譯稿從德文作了詳細校訂之後，才由人民出版社於1975年7月出版了馬克思的《數學手稿》。）

人民出版社於1975年7月出版了馬克思的《數學手稿》

兩種極端的看法

馬克思《數學手稿》一書於1975年在我國編譯出版以後，出現了兩種極端的看法：

一是過分地在數學上抬高馬克思，說馬克思為微積分奠定了理論基礎，把19世紀許多卓越數學家的重要成就都視為形上學，惟有馬克思的論述才是符合辯證法的，甚至要在教學中用馬克思《數學手稿》代替微積分教材。這種作法顯然是極其錯誤的，既違背馬克思的本意，也不符合數學發展的實際，對於高等數學教學只能產生有害的影響。

另一種極端的看法則認為馬克思根本不懂數學，至少不懂高等數學，寫於19世紀的《數學手稿》沒有什麼學術價值，不值得翻譯出版。這種完全否定的態度也是缺乏歷史分析、不符合實際的。

由於這兩種看法在不同程度上一直延續到現在，所以，我感到把馬克思的《數學手稿》放在當時的歷史條件下，根據其具體內容，做出實事求是的恰當的評價是必要的，有現實意義的。

數學手稿：一份寶貴的歷史文獻

通過閱讀馬克思數學手稿，以及馬克思的著作和通信中有關數學的論述，聯繫到幾十年來馬克思數學手稿在我國的翻譯、介紹、出版和影響，我特撰寫本文談談自己對馬克思數學手稿的理解和看法，就教於對此有興趣的朋友們，也作為對馬克思逝世120周年的紀念。

讀讀馬克思數學手稿，就感到馬克思是深鑽到數學中去了，確如恩格斯所說：「馬克思是精通數學的。」[12]當然，所謂「精通」，不能要求馬克思通曉當時數學的全部，正好像現在堪稱「精通」數學的專家也不可能對當前數學的全部內容都了如指掌一樣。事實上，正如恩格斯所說：「對於自然科學，我們只能作零星的、時停時續的、片斷的研究」，而且「自然科學本身也正處在如此巨大的變革過程中，以至那些即使有全部空閒時間來從事於此的人，也很難跟蹤不失」[12]。馬克思生前還沒有來得及跟蹤19世紀數學分析方面的重要成就，還沒有閱讀當時已經出版的，像哥西的《分析教程》（1821年初版）那樣的一些重要著作。由於馬克思還不了解微積分經過波爾察諾（B．B．lzan，1781-1848）、哥西（A.L.Cauchy，1789-1857）、外爾斯特拉斯（K.W.T.Weierstrass，1815-1897）等數學家的努力以後所取得的逐步「完善」的形式，因而他也不可能運用極限理論做出像後來人們所理解的那樣來闡明微積分的本質。

馬克思不是專職數學家，也沒有對數學本身做出重大建樹，他的數學手稿之所以受到人們重視，首先，因為他是人類歷史上的偉大思想家，而他又在數學這一園地上數十年如一日地執著地辛勤耕耘過，這一事跡是人類文化史上所罕見的，是歷史上任何一位思想家都難以相比的。現在我們讀到的數學手稿，就是他以自己的獨特方式辛勤耕耘的歷史足跡，這足跡能夠保留下來，為世人所知，是令人感到寶貴的，而且值得加以研究和回味，從中獲得有益的啟迪。

其次，在馬克思數學手稿中，確有至今還在閃光的思想和見解。比如馬克思在考察了微分學的具體歷史發展過程以後，曾做出這樣的論斷：「新事物和舊事物之間的真實的從而是最簡單的聯繫，總是在新事物自身取得完善的形式後才被發現。」[8]（P144）這是對新舊事物關係的哲理性概括，也是對人的認識規律的哲理性概括，對人們的認識進展很有啟發。

第三，在馬克思主義理論中，非常注重人，尤其注重人的全面發展。馬克思對自由時間或閒暇時間，也就是非勞動時間的重要性有深刻的論述，他把自由時間看作財富，把休閒看作人的生活的重要組成部分。那麼，馬克思自己怎樣度過閒暇時間呢?據馬克思的女婿拉法格回憶：「除了讀詩歌和小說以外，馬克思還有一種獨特的精神休養方法，這就是他十分喜愛的數學。代數甚至給他以精神上的安慰；在他那驚濤駭浪的一生中有些最痛苦的時期，他總是以此自慰。」[7]（P8）

馬克思曾對恩格斯說：「在工作之餘——當然不能老是寫作——我就搞搞微分學。我沒有耐心再去讀別的東西。任何其他讀物總是把我趕回寫字檯來。」[3]（P124）馬克思對數學的特殊愛好，使他在任何情況下都能使自己沉浸於數學之中。當馬克思的夫人燕妮身患重病——肝癌的時候，他給恩格斯寫信說：「寫文章現在對我來說幾乎是不可能了。我能用來使心靈保持必要平靜的唯一的事情，就是數學。」[2]（P113）他的關於微分學的研究草稿，正是在1881年燕妮病危的那些痛苦的日子裡寫作的。

在馬克思的數學手稿中，能看到很多幽默俏皮的語言和生動有趣的比喻。可以想見，數學曾是馬克思尋求歡樂和安慰的休閒王國，在馬克思的一生中有許多時日是在這裡愉快地度過的，上千頁的數學手稿就是馬克思這種獨特的精神休養法的真實記錄。

綜上所述，我認為，馬克思數學手稿是一份寶貴的有特殊價值的歷史文獻。

參考文獻

[1]馬克思恩格斯選集：第3卷[M].北京：人民出版社，1971.

[2]馬克思恩格斯全集：第30卷[M].北京：人民出版社，1975.

[3]馬克思恩格斯全集：第31卷[M].北京：人民出版社，1972.

[4]馬克思恩格斯全集：第29卷[M].北京：人民出版社，1972.

[5]馬克思恩格斯全集：第32卷[M].北京：人民出版社，1971.

[6]馬克思恩格斯全集：第33卷[M].北京：人民出版社，1973.

[7][法]拉法格.回憶馬克思[M].北京：人民出版社，1954.

[8]馬克思.數學手稿[M].北京：人民出版社，1975.

[9]馬克思數學手稿[J].北京大學學報專刊，1974.

[10]馬克思恩格斯全集：第35卷[M].北京：人民出版社，1971.

[11]馬克思恩格斯全集：第20卷[M].北京：人民出版社，1971.

[12]恩格斯.反杜林論[M].北京：人民出版社，1971.

[13]馬克思恩格斯全集：第36卷[M].北京：人民出版社，1975.

[14]К．МАРКСМАТЕМАТИЧЕСИЕРУКОПИСИ，ИЗДАТЕЛЪСТВО《НАУКА》　ГЛАВНАЯ　РЕДАКЦИЯ　ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКО ЙЛИТЕРАТУРЫ，МОСКВА，1968