諾獎解讀 | 起點亦是終點——彭羅斯的「循環宇宙」

英國物理學家羅傑·彭羅斯獲得2020年諾貝爾物理學獎。圖為2011年10月，彭羅斯在義大利的一個科學節上，圖片來源：Cirone-Musi, Festival della Scienza / CC BY-SA

編者按：2020諾貝爾物理學獎，89歲的牛津大學數學榮休教授彭羅斯因「證明了廣義相對論導致了黑洞的形成」而獲獎。有人說，彭羅斯的諾獎也該與已逝的霍金同享，且容我們先不去判斷此種說法的正確與否，先來看看本文作者在2016年對於彭羅斯和他的「循環宇宙」的介紹。或許，你就能找到答案。

撰文 | 張天蓉

責編 | 寧茜 呂浩然

羅傑·彭羅斯（Roger Penrose，1931-）循環宇宙[1]的思想不同於佛教就個體生命而言的轉世「輪迴」，倒有點像尼採的宇宙「永恆輪迴」。但無論如何，為避免混淆，我們將它翻譯成循環宇宙說，不叫輪迴。

彭羅斯共形循環宇宙（CCC）模型的數學基礎是共形映射（conformal mapping），也叫保角變換。「保角」一詞反映了變換的幾何意義，即保持了兩條光滑曲線之間的角度以及無窮小結構的形狀不變，但不保持它們的尺寸。如圖1a所示的兩個共形映射，倘若保持曲線間的夾角為直角，那麼圖中所示的小矩形在變換後仍然映射成矩形，但每個矩形的尺度變化了。

保角變換是數學物理中一種常用的方法。如果物理定律在變換下保持不變，比如電磁場方程，就可以利用保角變換將複雜的邊界條件變換成簡單形狀的邊界條件，以方便求解，解出後再變回原來的空間。

圖1：共形映射應用於循環宇宙模型

在彭羅斯的CCC理論中，他利用與圖1a下圖類似的變換，將宇宙「大爆炸+膨脹」的雙曲面（類似）時空結構，映射成貌似柱面的形狀。也就是說，在大爆炸的時間點，原來密集縮小的空間被變換拉伸了；而對未來而言，變換可以將無限擴張的空間限制在有限的範圍內。

然後，彭羅斯進一步設想，這種變換後看起來像「柱面」的時空結構可以一個一個地首尾相連，接成一長串平滑過渡的時空流形，並一直延續下去。或者說，如果把我們現在的宇宙（從大爆炸到未來）看成一個「世代」的話，便有無窮多個這樣類似的「世代」接在一起。

這樣的宇宙模型可以回答人們關於宇宙「過去未來」的問題。比如說「大爆炸之前是什麼？」，答案是「上一個世代的結束」。而宇宙的未來呢，則將會誘發下一個大爆炸，並進入一個新的世代。彭羅斯的模型，看起來的確是將大爆炸宇宙賦予了一個世代交替、永恆循環的似穩態圖景，如圖1b所示的那樣，宇宙就這樣「循環」起來。

然而，原始的粗糙構想並非天衣無縫，而是四處窟窿。物理的、數學的問題，需要一個一個地逐步解決，以自圓其說。

彭羅斯對廣義相對論解的「奇點」問題一直頗有研究。與時空曲率相關的奇點有兩種：一是大爆炸類的時間奇點（t=0），另一種是黑洞類的空間奇點（r=0）。黑洞不是裸奇點，因為它有視界包圍著，大爆炸則是裸奇點。大爆炸類型的奇點呈現的是時間的開始，黑洞是空間奇點，但在黑洞的視界以內，時間概念失去了它原有的意義。因此，對掉入了視界之內的物質而言，可以將黑洞奇點視為是時間的終結。或者說，黑洞奇點在某種意義上，是大爆炸奇點的時間反演。

既然是反演，彭羅斯想，也許可以將它們作為一個「世代」的結束？

從我們目前接受的大爆炸宇宙模型想像一下宇宙的未來：宇宙正在加速膨脹。這帶來的後果是什麼呢？每一個星系將越來越遠離，成為一個個互相遙不可及的「宇宙孤島」。另一方面，引力使得恆星和星系不斷塌縮，形成越來越多、越來越大的恆星黑洞和超級黑洞。比如目前，僅在銀河系的範圍內，除了發現許多恆星黑洞的候選者之外，科學家們在2008年最終證實，銀河系中心本身，就是一個質量約為太陽400萬倍的超大黑洞（編者註：是的，這就是今年物理學獎的另一半所獎勵的工作！）。黑洞與黑洞有可能合併產生更大的黑洞，但從來不會分裂成更小的黑洞。

廣義相對論所預言的經典黑洞是「只進不出」的，且結構簡單，符合惠勒（John Archibald Wheeler，1911-2008）所說的「黑洞無毛定理」（A black hole has no hair）。意思是說黑洞只需要很少的幾個參數來描述它。無論什麼樣形狀和物質成分的天體，一旦塌縮成為黑洞，它就只剩下電荷、質量和角動量這三個最基本的性質，再無其它。後來，惠勒的一個學生貝肯斯坦（Jacob Bekenstein，1947-2015）在惠勒的支持下建立了黑洞熵（Entropy of black hole）的概念。既然黑洞具有熵，那它也應該具有溫度，如果有溫度，就會產生熱輻射。受這個思想的啟發，霍金於1974年提出了著名的霍金輻射（Hawking radiation）[2]。

霍金輻射產生的物理機制是黑洞視界周圍時空中的真空量子漲落。根據量子力學原理，在黑洞事件邊界附近，量子漲落效應必然會產生出許多虛粒子對。這些粒子-反粒子對中的一個掉進黑洞，再也出不來，而另一個則飛離黑洞到遠處，形成霍金輻射。逃離黑洞引力的粒子將帶走一部分質量，從而造成黑洞質量不斷損失。

霍金輻射的溫度很低，與黑洞質量成反比，一個質量等於10倍太陽質量的黑洞，溫度只有6×10-9K。目前宇宙微波背景輻射（CMB）的溫度大約是2.725K，但這個溫度會逐步下降，越來越低。最後，如果黑洞的霍金輻射溫度比CMB的溫度更高的話，黑洞便將向周圍輻射能量直至「蒸發」消失。

霍金後來修正了他的黑洞輻射理論，但彭羅斯更贊同霍金的原始想法，並將其應用在他的CCC模型中。根據彭羅斯描述的每一個世代膨脹宇宙的未來：大大小小的黑洞像幽靈一樣，遊走在空曠而毫無生氣的宇宙中，時而互相碰撞合併，時而「砰」的一聲突然消失。這是一個異常乏味並將延續到「永恆」的宇宙，時間漫長到可能要經過10100年。

不過，這10100年的時間靠誰來計算呢？那時候，沒有星系，沒有你我，沒有任何觀測者（也許有暗能量和暗物質波？），很可能只剩下無質量的粒子，而無質量的粒子只能沿著光錐的表面運動，也就是說，它們的固有時間永遠為0，無法充當「時鐘」的角色，對它們（光子）來說，永恆和一剎那是一樣的。如果那時候的世界中只有光子這種無質量粒子的話，那麼，整個世界的永恆和一剎那也是等同的。

圖2：將無限映射到有限

如上所述，彭羅斯的CCC利用共形映射來連接差距極大的標準宇宙模型的「起點」和「終點」，即廣義相對論解中的兩類不同奇點：大爆炸和黑洞。在這起始奇點是整體的，只有一個；黑洞奇點卻是局部的，有很多個。CCC理論認為，應用共形映射的尺度變換，一方面可以將物質密度和溫度極高（趨於無限），體積極小的宇宙初始狀態變換成密度、溫度、體積都有限的時空。另一方面，也能將未來無限膨脹的宇宙時空變換成尺寸有限的範圍。

如此一來，一個世代的起點就可以由上一個世代的終點平滑過渡而來，世代的未來又再平滑過渡到下一個世代的起點。無限大或無限小都可以映射成有限，類似於圖2a所示的龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854-1912）的共形圓盤模型（conformal disk model），利用雙曲共形變換，可將無限的雙曲面映射到一個有限的圓形區域中。圖2b是彭羅斯早期發明的彭羅斯圖（Penrose diagram，也稱共形圖），將無限大的時空映射到有限範圍內以方便研究時空的因果關係。彭羅斯在CCC理論中使用的度規的共形映射，是對時空度規的「重新度量」：

這裡的Ω是定義在時空每一點的正實數函數，稱為尺度變化因子。可以適當地選擇平滑的尺度因子函數，使得在時空趨向無限大的時候，Ω趨近於0；而在大爆炸奇點附近，尺度變化因子Ω趨近無窮，這樣便將世代從起點到終點映射成了一個平滑而有限的時空。

此外，彭羅斯也提出了外爾曲率假設（猜想），給時空的外爾曲率賦予了某種物理意義，認為從它可以計算引力場的熵。彭羅斯認為，大爆炸類型的奇點和黑洞類型的奇點，雖然看起來像是時間上互為反演，但實質上它們附近的幾何性質有很大的不同：黑洞奇點附近的外爾曲率趨於無窮大。反之，在大爆炸奇點附近，外爾曲率等於0，裡奇曲率趨向無窮。

彭羅斯根據外爾曲率從大爆炸時的0，增大到黑洞附近的無窮大，猜想或許可以用外爾曲率來表徵引力場的熵。之後，他和其他科學家，構造了一個引力場的熵函數，正比於外爾張量平方的時空積分[3,4]。

彭羅斯認為，考慮了引力熵之後，他的CCC理論中宇宙的演化過程便毫無疑問地遵循熱力學第二定律（Second law of thermodynamics）。大爆炸開始時，宇宙處於低熵狀態；之後，熵逐漸增加，到宇宙的「永恆」終態時，熵達到極大值，趨向無窮。黑洞蒸發消失的過程從宇宙中移除熵，永恆時，熵被清零，下一個大爆炸開始。至於熵如何被清零，這點沒有看到他的詳細說明。

彭羅斯CCC宇宙模型的關鍵是使用共形映射連接宇宙的初態和終態，但需要建立在宇宙的初態和終態都是共形不變的假設上。這要求那時的宇宙中不存在有靜止質量的物質。彭羅斯對此有一些解釋，但使人覺得比較牽強。

近二十年來的天文觀測資料為物理宇宙學提供了寶貴的數據，以至於像彭羅斯這樣的純粹理論物理學家也企圖從實驗數據中尋找他的CCC理論的證據。幾年前，他曾經宣稱在WMAP（Wilkinson Microwave Anisotropy Probe，威爾金森微波各向異性探測器）的CMB數據中顯示出的同心圓是由於大爆炸之前的上一個「世代」的宇宙中的黑洞產生的，但這點沒有得到實驗分析專家們的認可，他們認為那是一種隨機的效應。

儘管彭羅斯的CCC模型尚不完善，也難以有實驗證據的支持，但畢竟提供了一些有價值的思路。並且，人們由此而進行的有關共形幾何、引力熵等數學物理概念的探討，也是研究者們可以借鑑的。

參考文獻：

[1] RogerPenrose，Cyclesof Time: An Extraordinary New View of the Universe，Knopf ，USA，2011，

有李泳翻譯的中文版，可在網上搜索查詢購買（見李泳的博客）。

[2] Hawking, S. W. "Black holeexplosions?" [J]. Nature 248 (5443): 30–31. 1974.

[3] R.Penrose, in S. W. Hawking and W. Israel, eds., Ref. 1. and in Quantum Grauity2: A Second Oxford Symposium, eds. C. J. Isham, R. Penrose, and D. W. Sciama(Clarendon Press, Oxford 1982).

[4] B. L.Hu, Phys. Lett. m, 368 (1983).

註：本文由作者張天蓉於2016年5月25日首發在科學網博客，賽先生獲授權轉發推送，並略作編輯。