因動點產生的直角三角形問題是中考試卷的考查熱點，解決這類問題時，我們常常需要分情況討論，即究竟哪個角是直角。具體解題策略分類說明如下。
類型1.兩動點或三動點形成的直角三角形
重要策略：
分角討論法：討論直角三角形的時候，如果能設出或明確出三角形三個頂點坐標，可利用兩點間距離公式分別求出三角形三邊長，如果兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形是直角三角形。涉及到的知識點有：全等；相似倒角；函數交點；兩一次函數斜率之積為-1等知識求解；
例1.（2018秋梁子湖區期末）如圖，已知直線y＝﹣x+4分別交x軸、y軸於點A、B，拋物線過y＝ax2+bx+c經過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸於點C，交拋物線於點D．
（1）若拋物線的解析式為y＝﹣1/2x2+x+4，設其頂點為M，其對稱軸交AB於點N．
①求點M、N的坐標；
②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？並說明理由；
（2）當點P的橫坐標為2時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）①把二次函數表達式化為頂點式表達式，即可求解；
②不存在．理由如下：設點P 的坐標為（m，﹣m+4），則D（m，﹣1/2m2+m+4），PD＝﹣1/2m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣1/2m2+2m，當四邊形MNPD為平行四邊形，則：1/2m2+2m＝3/2，解得：m＝1，則：點P（3，1），由N（1，3），則由兩點間距離公式可得：PN＝2√2≠MN，即可求解；
（2）分∠BDP＝90°或∠PBD＝90°兩種情況，求解即可．
【解答】（1）①y＝﹣1/2x2+x+4＝﹣1/2（x﹣1）2+9/2，
∴頂點M的坐標為（1，9/2），
當x＝1時，y＝﹣1+4＝3，∴點N的坐標為（1，3）；
②不存在．理由如下：
MN＝9/2﹣3＝3/2，
設點P 的坐標為（m，﹣m+4），則D（m，﹣1/2m2+m+4），
PD＝﹣1/2m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣1/2m2+2m，
∵PD∥MN．∴當PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，
即﹣1/2m2+2m＝3/2，解得：m＝1或3（m＝1捨去），
∴點P（3，1），由N（1，3），
∴則由兩點間距離公式可得PN＝2√2≠MN，
∴平行四邊形MNPD不是菱形，
即：不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；
（2）①當∠BDP＝90°時，點P（2，2），則四邊形BOCD為矩形，
∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），
∴拋物線的表達式為：y＝﹣1/2x2+x+4；
②當∠PBD＝90°時，△PBD為等腰直角三角形，則PD＝2xP＝4，
∴D（2，6），又A（4，0），B（0，4），
把A、B、D坐標代入二次函數表達式得：
16a+4b+c=0, c=4, 4a+2b+c=6，解得：a=-1,b=3,c=4，
故：二次函數表達式為：y＝﹣x2+3x+4．
【點評】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關係．
例題1變式．（2018秋瀋河區期末）如圖，直線y＝3/4x+a與x軸交於點A（4，0），與y軸交於點B，拋物線y＝3/4x2+bx+c經過點A，B．點M（m，0）為x軸上一動點，過點M且垂直於x軸的直線分別交直線AB及拋物線於點P，N．
（1）填空：點B的坐標為______，拋物線的解析式為______；
（2）當點M在線段OA上運動時（不與點O，A重合），
①當m為何值時，線段PN最大值，並求出PM的最大值；
②求出使△BPN為直角三角形時m的值；
【分析】（1）把點A坐標代入直線表達式y＝3/4x+a，求出a＝﹣3，把點A、B的坐標代入二次函數表達式，即可求解；
（2）①設：點P（m，3/4m﹣3），N（m，3/4m2﹣9/4m﹣3）求出PN值的表達式，即可求解；②分∠BNP＝90°、∠NBP＝90°、∠BPN＝90°三種情況，求解即可；
【解答】（1）把點A坐標代入直線表達式y＝3/4x+a，
解得：a＝﹣3，則：直線表達式為：y═3/4x﹣3，令x＝0，則：y＝﹣3，
則點B坐標為（0，﹣3），將點B的坐標代入二次函數表達式得：c＝﹣3，
把點A的坐標代入二次函數表達式得：3/4×16+4b﹣3＝0，
解得：b＝﹣9/4，故：拋物線的解析式為：y＝3/4x2﹣9/4x﹣3，
（2）①∵M（m，0）在線段OA上，且MN⊥x軸，
∴點P（m，3/4m﹣3），N（m，3/4m2﹣9/4m﹣3），
∴PN＝3/4m﹣3﹣（3/4m2﹣9/4m﹣3）＝﹣3/4（m﹣2）2+3，
∵a＝﹣3/4＜0，∴拋物線開口向下，∴當m＝2時，PN有最大值是3，
②當∠BNP＝90°時，點N的縱坐標為﹣3，
把y＝﹣3代入拋物線的表達式得：﹣3＝3/4m2﹣9/4m﹣3，解得：m＝3或0（捨去m＝0），
∴m＝3；
當∠NBP＝90°時，∵BN⊥AB，兩直線垂直，其k值相乘為﹣1，
設：直線BN的表達式為：y＝﹣4/3x+n，
把點B的坐標代入上式，解得：n＝﹣3，則：直線BN的表達式為：y＝﹣4/3x﹣3，
將上式與拋物線的表達式聯立並解得：m＝11/9或0（捨去m＝0），
當∠BPN＝90°時，不合題意捨去，
故：使△BPN為直角三角形時m的值為3或11/9；
類型2.兩定點一動點形成直角三角形重要策略：
「兩線一圓」模型：當定長為直角三角形的直角邊時，分別以定長的某一端點作定長的垂線，與坐標軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點；當定長為直角三角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與坐標軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點；
例2.在平面直角坐標系內，反比例函數和二次函數y＝k（x2+x﹣1）的圖象交於點A（1，k）和點B（﹣1，﹣k）．
（1）當k＝﹣2時，求反比例函數的解析式；
（2）要使反比例函數和二次函數都是y隨著x的增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值範圍；
（3）設二次函數的圖象的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值．
【分析】方法一：（1）當k＝﹣2時，即可求得點A的坐標，然後設反比例函數的解析式為：y＝m/x，利用待定係數法即可求得答案；
（2）由反比例函數和二次函數都是y隨著x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函數y＝k（x2+x﹣1）的對稱軸為x＝﹣1/2，可得x＜﹣1/2時，才能使得y隨著x的增大而增大；
（3）由△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點與B點關於原點對稱，利用直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半，即可得OQ＝OA＝OB，又由Q（﹣1/2，5k/4），A（1，k），
方法二：（1）略．
（2）根據反比例函數及二次函數的增減性得出k及x的取值範圍．
（3）設參數Q點坐標，由於AB為斜邊，得出AQ垂直BQ，利用黃金法則二列式便可求解．
列出A，B，C三點參數坐標，利用黃金法則二列式便可求解．
【解答】方法一：
（1）當k＝﹣2時，A（1，﹣2），
∵A在反比例函數圖象上，∴設反比例函數的解析式為：y＝m/x，
代入A（1，﹣2）得：﹣2＝m/1，解得：m＝﹣2，
∴反比例函數的解析式為：y＝﹣2/x；
（2）∵要使反比例函數和二次函數都是y隨著x的增大而增大，∴k＜0，
∵二次函數y＝k（x2+x﹣1）＝k（x+1/2）2﹣5k/4，對稱軸為：直線x＝﹣1/2，
要使二次函數y＝k（x2+x﹣1）滿足上述條件，在k＜0的情況下，x必須在對稱軸的左邊，
即x＜﹣1/2時，才能使得y隨著x的增大而增大，
∴綜上所述，k＜0且x＜﹣1/2；
（3）由（2）可得：Q（﹣1/2，﹣5k/4），
∵△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點與B點關於原點對稱，（如圖是其中的一種情況）
∴原點O平分AB，∴OQ＝OA＝OB，
作BD⊥OC，QC⊥OC，
（3）拋物線的頂點Q（﹣1/2，﹣5k/4），A（1，k），B（﹣1，﹣k），
∵△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，
∴AQ⊥BQ，∴KAQ×KBQ＝﹣1，
方法二追加第（4）問：點C為x軸上一動點，且C點坐標為（2k，0），當△ABC是以AB為斜邊的直角三角形時，求K的值．
（4）△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，
∴AC⊥BC，∴KAC×KBC＝﹣1，
∵A（1，k），B（﹣1，﹣k），C（2k，0），
【點評】此題考查了二次函數的性質、反比例函數的性質以及直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握待定係數法求函數解析式，注意數形結合思想的應用．
變式練習．
1．（2018秋吳興區校級月考）已知，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點M在拋物線的對稱軸上，當△MAC是以AC為直角邊的直角三角形時，求點M的坐標．
2.（2018秋農安縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），並且OA＝OC＝4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在AC上方的拋物線上有一動點G，如圖，當點G運動到某位置時，以AG，AO為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上，求出此時點G的坐標；
（3）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．
【變式練習1答案及提示】拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3;當△MAC是直角三角形時，點M的坐標為（1，8/3）或（1，﹣2/3）．
（1）由點A、C的坐標，利用待定係數法即可求出拋物線的解析式；
（2）設點M的坐標為（1，m），
分∠ACM＝90°和∠CAM＝90°兩種情況，利用勾股定理可得出關於m的方程，解之可得出m的值，進而即可得出點M的坐標．
【變式練習2答案及提示】拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x+4；點G的坐標為（7/2，9/4）．
存在點P（2，6）或（﹣2，﹣6），使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．
（1）由點A的坐標及OA＝OC＝4OB，可得出點B，C的坐標，根據點A，B，C的坐標，利用待定係數法即可求出拋物線的解析式；
（2）由二次函數的解析式利用二次函數的性質可得出拋物線的對稱軸，由AO的長度結合平行四邊形的性質可得出點G的橫坐標，再利用二次函數圖象上點的坐標特徵，即可求出點G的坐標；
（3）設點P的坐標為（m，﹣m2+3m+4），結合點A，C的坐標可得出AP2，CP2，AC2的值，分∠ACP＝90°及∠PAC＝90°兩種情況，利用勾股定理即可得出關於m的一元二次方程，解之即可得出結論．
知微見諸，動點問題研究的是在幾何圖形的運動中，一些圖形位置、數量關係的「變」與「不變」的問題。常用的數學思想是方程思想、數學建模思想、函數思想、轉化思想等；常用的數學方法有：分類討論法、數形結合法等。解答動點問題的題目要學會「動中找靜」，即把動點問題變為靜態問題來解決，尋找動點問題中的特殊情況。
求解直角三角形存在性的三大策略：1.利用兩線一圓模型，列方程求解；2.利用勾股定理或兩點間距離公式列方程分類求解；3.利用直角三角形性質，利用相似或全等知識求解。