如果兩條曲線方程是f1(x，y)＝0和f2(x，y)＝0，它們的交點是P（x0，y0），求證：方程f1(x，y)＋λf2（x，y）＝0的曲線也經過點P（λ是任意常數）。由此結論可得出：經過兩曲線f1(x，y)＝0和f2（x，y）＝0交點的曲線系方程為：f1（x，y）＋λf2（x，y）＝0。利用此結論可得出相關曲線系方程。
一、直線系
概念：具有某種共同屬性的一類直線的集合，稱為直線系。它的方程稱直線系方程。幾種常見的直線系方程：
（1）過已知點P（x0，y0）的直線系方程y－y0＝k（x－x0）（k為參數）
（2）斜率為k的直線系方程y＝kx＋b（b是參數）
（3）與已知直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程Ax＋By＋λ＝0（λ為參數）
（4）與已知直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程Bx－Ay＋λ＝0（λ為參數）
（5）過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程：
A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ為參數）
例1、已知直線l1：x＋y＋2＝0與l2：2x－3y－3＝0，求經過的交點且與已知直線3x＋y－1＝0平行的直線L的方程。
解析：設直線L的方程為
2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0。
∴（λ＋2）x＋(λ－3)＋2λ－3＝0。
∵L與直線3x＋y－1＝0平行，
∴。
解得：λ＝。
所以直線L的方程為：15x＋5y＋16＝0
例2、求證：m為任意實數時，直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恆過一定點P，並求P點坐標。
分析：不論m為何實數時，直線恆過定點，因此，這個定點就一定是直線系中任意兩直線的交點。
解析：由原方程得
m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0 ①
即
∴直線過定點P（9，－4）
說明：方程①可看作經過兩直線交點的直線系。
二、圓系
概念：具有某種共同屬性的圓的集合，稱為圓系。
幾種常見的圓系方程：
（1）同心圓系：（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2，x0、y0為常數，r為參數。
（2）過兩已知圓C1：f1（x，y）＝x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0。
和C2：f2（x，y）＝x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交點的圓系方程為：
x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）
若λ＝－1時，變為（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0，
則表示過兩圓的交點的直線。
其中兩圓相交時，此直線表示為公共弦所在直線，當兩圓相切時，此直線為兩圓的公切線，當兩圓相離時，此直線表示與兩圓連心線垂直的直線。
（3）過直線與圓交點的圓系方程：
設直線L：Ax＋By＋C＝0與圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，則過直線L與圓C交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0。
例3、求經過兩圓x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交點，並且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程。
解析：根據（2）設所求圓的方程為：x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0。
即（1＋λ）x2＋(1＋λ)y2＋6x＋6λy－(4＋28λ)＝0。
其中圓心為（），
又該圓心在直線x－y－4＝0上
即，得＝－7。
∴所求圓方程為x2＋y2－x＋7y－32＝0。
例4、求經過兩條曲線x2＋y2＋3x－y＝0 ①和3x2＋3y2＋2x＋y＝0 ②交點的直線方程。
分析：此題常規方法是聯立解方程組得交點坐標，再用兩點式寫出直線方程。若用（2）中方法則非常簡單。
解析：先化②為圓的一般式方程：
③
由①－③得：
即7x－4y＝0。此為所求直線方程。
例5、求過直線2x＋y＋4＝0和圓的交點，且過原點的圓方程。
解析：根據（3），設所求圓的方程為：
。
即，因為過原點，所以1＋4＝0，得＝。
故所求圓的方程為：。
三、橢圓系
（1）與橢圓（半焦距為c）共焦點的橢圓系方程：（λ＞c2）
（2）與橢圓具有相同離心率的橢圓系方程為（λ＞0）。
例6、求經過點（2，－3），且與橢圓9x2＋4y2＝36有共同焦點的橢圓方程。
解析：因已知橢圓焦點在y軸上，且c2＝5，
則可設所求橢圓方程為：
又經過點（2，－3），代入方程得：，解得：＝10或＝－2（捨去）
例7、求與橢圓有相同離心率且經過點（2，－）的橢圓的標準方程。
解析：由題意，設所求橢圓方程為
。
∵橢圓過點（2，－），故。
故所求的橢圓方程是。
四、雙曲線系
（1）與雙曲線共焦點的雙曲線系方程：＝1（0＜λ＜c2＝
（2）與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程為（λ≠0）
（3）等軸雙曲線系方程為：x2－y2＝λ（λ≠0）
例8、求與雙曲線共漸近線且過點A（）的雙曲線方程。
分析：一般解法是分類討論，還需解方程組。
利用（2）可簡化運算。
解析：設所求雙曲線方程為：
（λ≠0）
因為過點A（），
所以。
所求雙曲線方程為：
即。
注意：不要應用曲線系方程不當。
例9、求以圓x2＋y2＝5與拋物線y2＝4x的公共弦為直徑的圓的方程。
分析：常規解法是：
由
得圓方程：（x－1）2＋y2＝4
若用曲線系方程思想，則可構造方程為
（x2＋y2－5）＋λ（y2－4x）＝0（*）
即x2＋(1＋λ)y2－4λx－5＝0。
則λ＝0時為圓方程，顯然為已知圓，不是所求圓。
錯解：由已知兩曲線方程得到方程（*），方程（*）是過已知兩曲線交點的曲線，但方程（*）不能包含過已知兩曲線交點的所有曲線，比如：兩直線x＋y＝0，x－y＝0的交點是（0，0），而y2＝4x，（x－1）2＋y2＝1等曲線也都過（0，0），但這些曲線不能從直線系中得到。所以，應用時要具體問題具體分析。