量子自旋霍爾效應與拓撲絕緣體

2021-01-15 daodaophysics


前面已經詳細講過BKT相變和和整數量子霍爾效應，其霍爾電導是量子化的，正比於Chern number或TKNN number  n

一個自然的想法就是把兩個相反的整數量子霍爾效應疊加放在一起，這樣可以不用破壞其時間反演對稱性，即量子自旋霍爾效應。

其總的Chern number為零，電荷電流為零，但自旋電流不為零，spin Chern number可以看作是新的不變量（invariant）

但是對於自旋不守恆的體系，spin Chern number就無效了。這個時候Kane and Mele提出了新的拓撲不變量Z2 

Pf是Pfaffian函數，或者Fu and Kane利用time reserval polarization得到的等價表達式

時間反演對稱性在這裡起了決定性的作用，它導致了Kramers 簡併

這種簡併使得同一個Kramers pair不能通過時間反演不變的微擾mix，即單個Kramers pair的edge是穩定的

但兩個Kramers pair就不一樣了，它們可以mix，這恰好對應了Z2的奇偶性。


從完整的能帶結構裡面來看edge state，有一種情況是兩個states在k=0和k=pi連接的是同一個Kramers doublet, 它是trivial的；第二種情況連接了兩個不同的Kramers doublet，它是nontrivial的，即2D的拓撲絕緣體（TI），Z2 不變量可以很好的區分這兩種狀態。


從2D到3D, 一個簡單的想法就是直接堆垛，這稱作weak TI，因為disorder可以破壞這種state。Fu and Kane真正把TI推廣到了3D (strong TI)，3D有8個time reversal invariant momenta (TRIM)，需要四個Z2 不變量v描述

其中v0不依賴於倒格子的選取，v0=0，v0=1分別得到weak和strong TI。



Ref:

Kane, Mele (2005), Xu, Moore (2006),Fu, Kane & Mele (2007), Moore & Balents (2007), Roy (2007),Fu, Kane (2007), Qi, Hughes, and Zhang (2008)

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