昨天開團數學教材和繪本專場時《》，我也跟大家說過，數學啟蒙的核心是數學思維。
培養數學思維，說起來有些抽象，但主要是包括了以下幾個「靈魂拷問」，也是我在社群統計中高頻話題：
什麼是數學思維？
它重要嗎？為什麼？
怎麼在生活中培養它？
培養數學思維有規律可循嗎？
做完各種數學練習冊測評的好朋友，清華大學學霸本霸@餅乾，也被我邀請來趕緊給大家解答一下，我們在家可以如何系統啟蒙孩子的數學思維。
文 | 餅乾
01
數學思維是數學啟蒙的核心
數學的本質是一種思維方式，具有抽象化、概括化等特點。
那麼數學思維到底是什麼呢？總結起來就是用數學的觀點去思考問題和解決問題的能力。它是搭建數學世界最重要的根基。
因此，數學啟蒙並不是簡單讓孩子學會算術，而是一種系統思維的能力培養：根據孩子大腦發育的特點以及現有能力，鍛鍊他們冷靜、系統地解決問題的能力。
就好比樂感之於學音樂，它重要到可以決定音樂成就高低，但卻很難當成課程。有的人天生就有很強的樂感，但是一般人也可以通過長期接觸音樂進行培養。數學思維亦然。
02
兒童思維發展的特點
著名兒童認知心理學家皮亞傑（Jean.Piaget）認為兒童的思維發展分為四個階段：
0-2歲：感知運動階段
2-6歲：前運算階段
7-12歲：具體運算階段
12歲-成年：形式運算階段
每個階段，孩子都有自己認知曲線。▼
例如前運算階段2-6歲的孩子以具體形象為主，以自我為中心，缺乏守恆的概念。也就是說，他們還不具備抽象思維，這也是他們感覺數學學起來比較困難的原因。
03
數學啟蒙強調生活化
數學似乎是一種高冷的科學，而實際上它源於早期的人類活動，既不高冷，也不抽象，而是充滿了煙火氣，我們來看看下面的例子：▼
四季的確定
周朝有本著作叫《周髀算經》，記載了古人發現四季的歷史。
他們在平地上立了一根垂直於地面的8尺長的杆子，稱之為表，又叫做髀，靠它測量太陽的影子，來判斷四季。
在一年中影子最長的那天是冬至，最短的那天就是夏至。而春分和秋分時的影長，則是夏至和冬至影長的平均值。這樣，古人就將一年四季定了下來。
從周朝的故事裡就可以看出，早在三千多年前，古人已經知道如何在生活中運用數學。這並不是因為數學多簡單，而是數學的根源是生活。
同樣，哪怕現在已經是2020年，但數學思維的根基仍然不會變。對幼兒來說，同樣需要鼓勵孩子從以下兩方面入手，學好數學思維：
1. 生活數學化 ·從現實中引出數學問題
從生活和遊戲中獲得數量、形狀、空間、時間等感行體驗
2. 數學生活化 · 生活是數學的歸宿
用已有的數學經驗解決問題，將生活與數學符號相聯繫
數學啟蒙，就是在應用數學知識解決生活問題的過程中，感受數學的有用和有趣，在與周圍環境交往的過程中，感受事物之間量的關係，並為今後的數學學習打下基礎。
04
生活中培養數學思維的具體方法
數學思維很重要，可怎麼在生活中培養孩子的興趣，讓他覺得和自己有關，而且很好玩呢？
對於啟蒙階段的孩子，我們可以通過不同的遊戲，來培養孩子以下3個基本的數學思維能力：
抽象思維：提取事物本質，形成概念
邏輯推理：推導、思考因果、判斷觀點
解決問題：多角度思考，自主解決問題
接下來，就是咱們「玩數學」的時間。
提升抽象思維能力的親子遊戲推薦
抽象能力，實際是一種「透過現象看本質」的能力。對於孩子來說，就是符號意識和數感：理解並且運用符號表述數、數量關係和變化規律。
培養他們的抽象思維能力，最重要的是通過生活中大量豐富真切的感性認識，讓孩子在千萬次的重複中，自然而然地建立起數的概念，並逐漸形成歸納的、概括的初步能力。
01
點數實物
所有孩子認知數學的第一步一定是數數，一一對應的數數，對小朋友來說是個很重要的階段。
這裡推薦Learning Resources魔法方塊，無論是對前期的數學啟蒙，還是在學齡段的四則運算，以及期間伴隨的空間思維訓練，都很有幫助。▼
這個數數遊戲可以玩很久，從1-10, 1-100連續數數開始；熟練以後就可以跳著數，1、3、5... 或是5、10、15...五個五個地數，有助於認鐘錶；還可以倒著數，有助於對減法的理解。▼
耐心地讓孩子多數數，變著花樣的數，會有助於他們對數量的理解，對於運算的理解。
02
分物品
除法可以在生活中通過分物品讓孩子體會。
比如讓孩子把咖啡杯平均分給爸爸、媽媽和她自己，孩子摸索分咖啡杯的方法其實就是理解除法的過程。
有些孩子開始時每人隨機分幾個，然後會不夠分或多出來；有些孩子會每人每次分一個，不斷「減法」的過程，這是讓孩子體會除法含義的過程。▼
分披薩餅可以幫助理解分數及其運算，比如6個人分3個披薩，引入了1/2的概念；繼續深入一步，3個披薩，每人吃1/2 個，夠幾個人吃？這就是分數除法的概念了。▼
▲切皮薩本身也是很好的分數練習
從生活中學習就不需要背誦公式和口訣，比如分數除法，「除以分數，等於乘以分數的倒數」，相信很多孩子會背誦口訣，但是到底為什麼要乘以分數的倒數是不理解的。
03
測量
測量是數學中一個比較重要的概念：
·小朋友量身高用的量高尺可以幫助理解小數；
·格子數學紙可以用來理解面積；
·小朋友和媽媽一起做烘焙，水、牛奶要加多少，可以幫助他們很直觀地理解體積；
·溫度計可以幫助小朋友理解負數，-2度和+3度之間差了幾度；
·體重計小朋友飯前稱一下，飯後再稱一下，那麼重了多少，可以很好地理解小數的加減法。▼
學數學不只是做做練習冊，還有好多生活中的數學，都非常有意思。
提升邏輯推理能力的親子遊戲推薦
數學邏輯推理能力是指人能夠有效地利用數字進行計算、量化、推論、歸納、假設等複雜的數學運算的能力，《幼兒園教學指導綱要》和《小學課程標準指南》都指出，數學教育的目標之一就是培養幼兒初步的邏輯思維能力。
孩子的思維水平分為3個階段：直覺行動思維→具體形象思維→初步的抽象思維。抽象思維是思維發展的終級任務，而其中初步的邏輯推理能力就是關鍵。
那麼如何培養孩子的邏輯推理能力呢？
1. 讓孩子親手操作：
擺弄物體，讓孩子理解數學的內涵
2. 多利用遊戲：
遊戲是幼兒最容易接受也最樂意參與的模式。
3. 幫助孩子歸納、總結、比較
提高數學邏輯能力
下面是幾個讓孩子利用遊戲，感受和理解數學邏輯推理的例子：
01
巧問「為什麼」
不僅孩子可以問我們為什麼，而且我們也可以問孩子為什麼。
邏輯推理過程的第一步是獲取信息，得到了信息後才能進行梳理總結等過程。我平時會鼓勵孩子多觀察和注重細節，並且常常提問為什麼，鼓勵她進行深層次的思考。
比如下雨的時候，小朋友都喜歡出去踩水，這時候可以引導他們觀察：
早上的水窪有多大？
下午的水窪怎麼變小了？
晚上水窪為什麼不見了？
為什麼大雨過後花會落呢？
爸媽都知道，孩子到了兩三歲以後，追問「為什麼」成了他們的日常。其實這就是他們在思考，他們非常努力想弄明白這個世界是怎麼運作的，這個世界背後的機理是什麼。
當孩子在家裡問你「為什麼」，如果不清楚怎樣引導，最簡單的三種回應是：
「你看……」：帶孩子觀察，通過觀察，回答問題。
「你覺得呢？」鼓勵孩子猜想和表達。
「如果……會怎樣？」引導孩子帶入不同條件，再根據推理想出答案。
02
分類與比較
我常常和孩子一起玩「一日記錄表」的遊戲。周末帶孩子外出遊玩回家後，和她一起畫個表格，總結我們當天都幹了什麼。
這時候，我希望孩子能總結出我們做的幾類事情，而不是把每件事單獨列出來，這就是一個很簡單的分類任務。我分享一個我在家裡發生的事情：
孩子回憶了今天全家一起去了公園，餵魚，玩滑板車，支帳篷，吃飯，還認識了一個新朋友，回家的路上買玩具、買書。
這中間逛公園，餵魚，玩滑板車，支帳篷都可以歸為玩；除了玩，還有吃飯，交友和購物，分別用四種不同的顏色代表四大類活動，記錄下來，在之後的幾周內，她都和媽媽一起記錄。
已經上幼兒園的小朋友回到家，媽媽們也可以讓孩子把在幼兒園的一天從頭到尾講給你聽。▼
早晨進校門、放書包、下樓做運動、上課、午餐、睡覺、吃點心等等，講了這麼多實在看不出什麼規律，但如果分了類就不一樣。
把幼兒園活動按照吃、休息、上課、玩分出幾大類，然後按照時間順序畫一個表格，就可以很清楚地看到孩子在幼兒園花時間最多的是什麼，最少的是什麼。
03
聯繫
通過分類，我們知道了世界上存在多少種東西；通過比較，我們知道了他們的差別。那麼自然也希望知道這些東西背後有沒有聯繫。
找出事物之間的聯繫，是邏輯思考過程中的重要步驟。 事物之間的聯繫有很多種，比如時間順序，因果關係，類比關係，人物關係等。
在聯繫的基礎上，區分相關和因果是特別重要的，不是有聯繫的事物就一定有因果關係。理解什麼是因，什麼是果，什麼是毫無因果關係的事情，對於孩子思維培養特別重要，對於我們日常甄別信息也很重要。
其實我們在生活中經常會教孩子原因和結果，只是自己沒察覺。譬如，媽媽們恐怕都對孩子說過「好好走別跑，會摔倒的！」，又或者「慢點喝水，不然會嗆到！」，其實這些都是在說事情的起因和結果。
小朋友的繪本中也有很多是在講因果關係，有一本著名凱迪克大獎繪本叫作《 There Was an Old Lady Who Swallowed a Fly》，中文譯名是《有個老婆婆吞了一隻蒼蠅》。
這是美國一首家喻戶曉的民謠，講的是有個老婆婆吞了一隻蒼蠅，然後她吞下蜘蛛去逮蒼蠅、吞下鳥兒去捉蜘蛛、吞下貓去抓鳥兒、吞下狗去咬貓、吞下奶牛去追狗，最後吞下一匹馬——她撐死了！▼
這個故事對我們大人來說，可能會覺得偏離常理，有點可笑。但對小朋友來說卻特別滑稽。大家可以看到，整個故事就是一條因果關係的鏈條，可以用Cause & Effect一路講下去。
前幾遍閱讀的時候，可以看畫面，講故事。等孩子對故事情節比較熟悉了，就可以用因果關係來提示，讓孩子來複述故事：
「老婆婆為什麼又吞了一隻蜘蛛？」
「老婆婆為什麼吞下了貓？吞了貓之後，她又吞了什麼？為什麼是狗呢？」▼
數學思維的養成有賴於日常的觀察、分析和練習，這裡只是拋磚引玉，希望能給大家一些啟發。
提升解決問題的能力的啟蒙活動推薦
對於數學學習，一個重要核心的內容就是提升孩子用數學思維解決問題的能力，一般來說，問題解決可分為四個部分：
1、提出問題
2、擬定計劃
3、實現計劃
4、回顧
在之前的數學啟蒙文章中，我跟萌芽分享過新加坡數學中最有特色的「建模畫圖法」（）：▼
當掌握這種畫圖法後，孩子做數學題就很簡單，只要3步就好：
1. 讀懂題目
2. 根據題目畫出數學模型圖
3. 根據模型圖列出算式並解答
數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的素養。定義主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、求解結論、驗證結果並改進模型，最終解決實際問題。
定義雖然長，但你關鍵是要記住它的內涵，就是將數學問題「可視化」，「簡化」習題難度。舉個例子，《新加坡數學中文版》裡，這道加法運算中就使用了建模，把24和36通過不同長度的長方形來建模，通過兩個長方形相加就能得計算的到答案。▼
新加坡的建模法之所以「中西合璧」，也體現在這裡。你看到旁邊的豎式計算，其實也是建模的一種。做加法時，個位相加、十位相加、個位數相加超過十要進一；做減法時，要注意如何借一等等，也是建模的技巧，這也是我們小時候學過的數學運算方法。
所以對低幼孩子來說，數學應用題的本質就是數學建模：
將文字→數學符號或圖像；
將數量關係→算式；
計算得到答案，最終通過檢驗肯定「解答」的適切性。
基礎數學主要用圖像的方式，並且通過塗色等動作來完成建模思維的學習過程。比如這是幼兒園要學的加減法，這些題目，即便是簡單如「6-2=？」都可以通過物品可視化，來進行運算。▼
再大一點，比如三年級開始要學乘除法了，一樣也可以通過建模方法來提高對於乘除法的理解和運用。▼
比如這道題：李先生賣掉了九碗麵條，如果每碗麵條賣3新元，那麼李先生一共能賺多少錢。▼
通過這個圖就很清楚看到裡面的邏輯關係，並且量詞一定不會用錯。一碗麵條就是一個小方框，一個方框代表3新元，一共買了9個方框，數一數，孩子就知道答案是27新元了。
練習冊可以幫助我們練習這個思維，低幼孩子的數學應用問題也需要掌握日常生活中可用的技巧，關鍵一點是：帶入情境。
父母要多嘗試在生活中各種各樣的具象情境，和孩子交談知識，讓孩子把情境中具象的事物和抽象的概念能夠對應起來。
對於學前的孩子，日常生活中的有很多例子可以轉化為數學問題：▼
今天小朋友要過生日了，我要送她最喜歡吃的紙杯蛋糕和糖果做為生日禮物，但是為了她的健康控制數量，兩樣東西加在一起送10個，可以怎麼送呢？
這是一個典型的數學問題，可以從以下幾點了解孩子的思考過程：
1. 你聽明白這個問題了嗎？
2. 你打算怎麼做？
3. 你還有其他的做法嗎？
4. 你檢查過你的答案嗎？
5. 你覺得你的答案對不對呢？為什麼？
6. 你能告訴我你的解題方法是什麼？
7. 這道題難不難？
8. 你是否願意表達自己的想法？
對於大一點的孩子，日常生活中的一些小問題，我們都可以和孩子一起討論下：
路邊腳踏車太多，亂還浪費，怎麼辦？
愛吃零食的同學越來越多，怎麼辦？
圖書館分類亂，找書困難，怎麼辦？
鼓勵孩子們思考和他們切身相關的問題，指出問題的根源並從各個角度去了解這個問題。
最後，總結一下日常生活中我們如何培養孩子的數學思維的幾個要點：
1. 從繪本、遊戲中找到素材，爸媽們可以在給孩子講故事、親子閱讀以及做遊戲的過程中多留心觀察，找到合適的素材。
2. 落實數學思維培養必須在學習知識和技能過程中開展，多用多思考，才能形成思維。
3. 重視在問題情境中培養幼兒解決問題的能力，解決問題是數學思維的重要指標，在生活和遊戲中引導孩子利用已掌握的知識和技能解決簡單的問題。
4. 培養孩子的數學思維是一個複雜而漫長的過程，關注孩子抽象、推理、模型三大數學思想的形成和發展，全面系統地培養孩子的數學思維。
我一直相信最好的啟蒙，是靜靜地聽，聽見孩子思維生長的聲音。
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昨天拍數學叢書「全家福」的時候，還挺感概的。數學啟蒙走了那麼多年，孩子現在迷上了奧數，想來也有很多是練習冊和數學繪本的功勞啊。上次大家問我要不要系統分享一下新加坡數學教材系列，我也記下來了，正在開寫中。
其實新加坡數學教材有幾類，但咱們昨天推薦的《新加坡數學中文版》還是目前引進國內的第一套。其他的都是英文，理解難度還是有一點的（雖然內容也很不錯），我家孩子最開始做新加坡數學還是英文版，現在主要是在做其他系列了，包括新加坡數學的奧數叢書。
再曬一次「全家福」，感興趣的朋友們可以戳這篇文章了解：。▼
驚 | 喜 | 團 | 品 |
你好啊～我是萌芽，很高興在這裡跟你相遇。
我是兩個男孩，7歲Joshua和5歲Eric的媽媽，我畢業於香港大學，師從世界心理學大師約翰·戈特曼，專業領域：情緒管理、家庭治療、親子互動，也是《教養力》一書的作者。在這裡，我跟你盡情談談早教啟蒙的事情，成長有方，育兒不慌。
我還有很多體系化的早教啟蒙課程，記得在後臺回復「小芽啟萌」，就可以來咱們的學習型父母、家庭早教的大家庭裡，一起坐坐～