請先欣賞《Leibniz 如何想出微積分？（一）》
四、差和分學：從 Pascal 三角到 Leibniz三角
在1672年春天，Leibniz 抵達巴黎，他的第一個成就是發現求和可以用求差來計算，即用減法可以求算加法。後來他曾描述他為何會想到差分以及差分的差分（即二階差分）等等的概念，並且強調差分扮演著他的所有數學思想的主角。在邏輯中，他徹底地分析真理，發現終究可化約成兩件事：定義與恆真語句 (indentical truths)。反過來，由恆真語句就可推導出豐碩的結果。他舉數列為例來展示：由 A=A 或 A-A=0出發，可得
A-A + B-B + C-C + D-D + E-E = 0
即 A - (A-B) - (B-C) - (C-D) - (D-E) - E = 0
令 A-B=K, B-C=L, C-D=M, D-E=N,
則得
亦即差之和等於第一項與最後一項之差。
換言之，給一個數列 v=(vk)，考慮接續兩項之間的差
vk+1-vk=uk
所成的數列 u=(uk)，叫做（右）差分數列（還有左差分，同理可討論），那麼顯然有
採用登山的解釋就很明白了：想像山路鋪成臺階，每一階相對於地面的高度為 v1, v2, , vn+1，而階差高度為 u1, u2, , un，那麼從甲地登到乙地共升高
另一方面這又等於 vn+1-v1，參見下圖 1。
圖1
例子：考慮立方數列及其各階差分數列：
由此我們立即讀出
1+7+19+37+61=125-0=125,
7+19+37+61+91=216-1=215,
6+12+18+24+30=91-1=90,
12+18+24+30=91-7=84。
Leibniz 發現這個規律，覺得非常新奇、美妙，像小孩子玩積木一樣興奮不已。進一步，他研究 Pascal 三角（1654年，又叫算術三角）。Pascal 三角是作為開方、二項式展開、排列組合與機率之用，參見[2]，Leibniz 卻從中玩索出差和分的道理。下面我們列出 Pascal 三角常見的三種排法：
(I)
(II)
(III)
問題： 請說明上述 Pascal 三角的構成法。
在(II)的排列法中，斜對角在線的數相加，所得到的數恰好構成費氏數列(Fibonacci sequence)：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
這個數列含有許多美妙的性質，我們不預備講述。
由(III)的排列法中，Leibniz 立即讀出許多關於行或列求和的結果，例如
3+6+10+15 = (4-1) + (10-4) + (20-10) + (35-20) = 35-1 = 34
同理
10+20+35+56=126-5=121。
Leibniz 在巴黎遇到 Huygens 時，對 Huygens 描述他用求差來求和的結果，Huygens 立即建議他做下面富於挑戰性的問題。
問題：（Huygens 問題）
求無窮級數之和
這個問題涉及無窮多項的相加，它源自計算某種賭局 (a game of chance) 的機率。
這個級數每一項的分母恰是畢氏學派「形數」(figurate numbers) 中的三角形數：
因此，級數(1)就是三角形數的倒數之和。Leibniz 立即就求得這個和：因為
所以首 n 項之和為
從而
我們在機率史的文獻上查不到 Huygens 的機率問題，不過我們倒有下面相關的例子：一個袋子裝有一個白球及一個黑球，從中任取一個球，若得白球就停止；若得黑球，則再填加一個黑球到袋中，變成兩黑一白，再任取一球，若得白球就停止；若又得黑球，則再添加一個黑球到袋中，變成三黑一白，如此繼續下去，那麼第一回合得白球的機率為 ，第二回合得白球的機率為 ，第三回合得白球的機率為 , … 等等，故終究得白球的機率為
Leibniz 解決了 Huygens 問題後，進一步模仿 Pascal 三角，建構一個今日所謂的「調和三角」(harmonic triangle) 或 Leibniz 三角，一口氣解決了更多求無窮級數和的問題。
調和三角是這樣做成的：第一行排上調和數列，第二行依次排上第一行的前項減去後項之差，以後就按此要領做下去，結果如下：
由此調和三角可以讀出
從而 Huygens 問題的答案是
另外我們也可以讀出
等等。將(2)式乘以 3 就得到角錐形數的倒數之和：
將(3)式乘以4就得到
同理也可得
Descartes 說得好：
由一個例子的考察，我們可以抽取出一條規律。
(From the consideration of an example we can form a rule.)
換言之，一個好的例子往往能夠反映出一般規律，即特殊孕育出普遍，或所謂的「一葉知秋」、「見微知著」的意思。我們由上述例子歸結出求和的共通模式 (pattern)：
定理 1：（差和分根本定理）
對於給定的一個數列 u=(un), n=1,2, …，如果可以找到另一個數列 v=(vn)，使得
un=vn+1-vn
那麼就有
其中 且 a<b。
我們引入適當的概念與記號：
定義：設 c=(cn) 為一個數列，令數列 為 （簡記為 ）。
我們稱 為數列 c 的（第一階）差分，Δ 為差分算子。 叫做定和分（簡稱和分）。
因此，定理1 引出了兩個基本問題：
(i)研究差分算子 Δ 在運算上的基本性質。
(ii)已知一個數列 u=(un)，求另一個數列 v=(vn) 使得 。
第一個問題很容易，在此從略。其次，利用(i)，第二個問題原則上也不難。在 中，我們稱 v 為 u 的反差分數列或不定和分。事實上，已知數列 u=(uk), k=1,2, … 定義一個新數列 b=(bn) 如下：
則易驗知 b=(bn) 滿足
換言之，b=(bn) 就是 u=(un) 的一個不定和分。顯然，u 的不定和分不唯一，可以無窮多個（例如(5)式再加上任意常數都還是 u 的不定和分），但是任何兩個不定和分只差個常數。
對這一切作深入而有系統的研究就是差和分學的內容（包括差分方程）。差和分的學習對於微積分的了解非常有幫助，因為兩者不過是離散與連續之間的類推與觀照而已。離散的差和分簡單明了，再連續化就得到了微積分。一般微積分教科書往往有如下的缺點：忽略差和分學，或類推與連續化處理得不好。