解讀「閉距離」,體驗北京中考新定義型壓軸題

解讀「閉距離」，體驗北京中考新定義型壓軸題

2018年北京中考數學壓軸題，是一道7分題，分值不高，屬於新定義型幾何圖，門檻就是理解新定義，讀懂了，後面的難度一下子就降低了許多，當然，解決此類問題同樣對基本作圖有一定要求，準確使用尺規作圖是必要技能之一。

題目

對於平面直角坐標系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最小值，那麼稱這個最小值為圖形M，N間的「閉距離」，記作d(m,n).

已知點A(-2，6)，B(-2，-2)，C(6，-2).

(1)求d(點O，△ABC)；

(2)記函數y=kx(-1≤x≤1，k≠0)的圖象為圖形G.若d(G，△ABC)=1，直接寫出k的取值範圍；

(3)⊙T的圓心為T(t，0)，半徑為1.若d(⊙T，△ABC)=1，直接寫出t的取值範圍.

解析：

(1)按題目所給的三個點繪圖，得到△ABC，再根據定義來求「閉距離」，如下圖：

從圖中可知，點O與△ABC的邊AB和BC，最短距離為2，而與斜邊AC距離超過2，因此d(點O，△ABC)=2；

作為起始小題，難度較低，但這個所謂的低難度也要建立在正確理解「閉距離」基礎上；

(2)與上一個小題相比，略作變化，還是那個三角形，現在將定點O換成了經過它的動直線y=kx，這是一條經過原點的直線，影響它位置的只有一個參數k，但加上x取值限制後，它就不再是直線了，而是一條經過原點的線段。當這條線段繞點O轉動過程中，位於不△ABC內部，且夾在-1和1之間的區域，就是線段掃過的地方，在題目條件「閉距離」為1的前提下，線段上任意一點距離△ABC的邊不能太近，不妨考慮這條線段的兩種特殊位置，即分別當k=1或-1時的情況，如下圖：

線段PQ即符合條件的y=kx上的線段，當k=1時，點P到邊AB和BC的距離最小，均為1，當k逐漸增大時，點P會靠近邊BC，此時d(G，△ABC)<1，不符合，因此k只能逐漸減小，P點遠離BC，而Q點逐漸靠近BC；減小至當k=-1時，點Q到邊BC的距離最小；

(3)考慮圓和三角形之間的「閉距離」，實質上仍然是直線與圓的位置關係，在⊙T由左至右的逐漸移動過程中，它先後與AB、AC存在離、切、交三種狀態，題目要求「閉距離」為1，則存在圓在AB左，圓在AB右，圓在AC左，圓在AC右四種情況，如下圖：

上述四種特殊位置的T點坐標分別是(-4，0)，(0，0)，(4-2√2，0)，(4+2√2，0)，在三角形內部，圓與BC邊始終保持距離為1，因此，t的取值範圍為0≤t≤4-2√2，再加t=-4和t=4+2√2.

解題反思：

總體而言，本題不算難，但這一切都建立在正確理解「閉距離」這個新定義上，特別是當圓在三角形內部時，利用新定義找準取值範圍，這是很容易被學生漏掉的情況。從另一個側面也考察了學生對新定義的理解深刻程度。若僅僅停留在字面上，那麼本題解起來舉步維艱，真的透徹了，自然行雲流水。