如下是著名的萊布尼茲公式，你可以從許多途徑來推導，但你有沒有嘗試過用幾何方法來證明呢？
在1932年的一本數學著作《幾何與想像力》中詳細地討論了這種方法，它的作者就是大名鼎鼎的數學全才希爾伯特。這本書展現了非凡的幾何思維，在國外很受歡迎。
希爾伯特發現萊布尼茲公式隱藏在一個巨大的圓中，我們本篇要從最簡單的圓周率π入手。人人都能看懂
在一個坐標平面中布滿所有整數的坐標點，如下圖
然後畫一個以原點為中心的圓
現在計算圓內的晶格點數目，這個晶格點數就是圓的面積，為什麼，因為每個點都是一個小單元的中心。然後圓的總面積大約是圖中正方形的區域
所以圓的面積πr^2就等於晶格點數，現在小學生都會這樣來計算圖形的面積：在網格紙上畫任意一條封閉曲面，通過曲線內的點數來計算封閉曲線的面積
所以圓周π就等於
上圖中半徑為7時，網格點數是149，所以我們的π=149/49=3.0408
我們繼續擴大圓的半徑，如下r=13時，圓內的點數/13=3.1301
當半徑r=54時，π越來越接近真實值
當r=1000時，點數越來越多，圓周率π的值就越精確
所以我們用極限表示就是
我們下一篇繼續討論，上述只是開篇中的基礎。