平方和公式的證明

公式

平方和公式證明一

分開

上圖，其中的一個即為1方+2方+……+n方（以4層為例）；三個組合起來，如下圖：

組合

上面多出了半層（空間想像不好的話，可以選擇證明二）

切開

上圖，將最上層的按1/2剖開，然後把深色部分旋轉擺在頂層，如下圖：

擺放

上圖立方體邊長分別為n、n+1、n+1/2，其體積為n(n+1)(n+1/2)，由於這個立方體是由三個同樣的物體組合起來，則其中的每一個為n(n+1)(n+1/2)/3，即1方+2方+……+n方=n(n+1)(n+1/2)/3。

平方和公式證明二：

證明二

左上角紅色為1方，將1方擺在2方（黃色）上即左側第二個圖，繼續將1方+2方擺在3方（綠色）上，就是左側第三個圖，以此類推，左側圖示到5方（紫色）。1方及其底下覆蓋的其他格子，共為n層（示例中為5層），展開擺放，如右側紅色部分；2方及其底下覆蓋的其他格子（不含已經計算過的1方），共為n-1層（示例中為4層），每層3個（不含已經計算過得1方），如右側黃色部分；以此類推，綠色n-2層（示例中為3層），每層5個；紫色n-4層（示例中為1層，每層9個；在右側彩色方塊的兩側，增加黑色方塊，其中的一側，根據粗線分 隔，可以看出，即1方+2方+……+n方，當然彩色部分就是我們擺過來的1方+2方+……+n方，整個圖形為3倍的1方+2方+……+n方；圖形的寬為2(n-1)+1+2=2n+1，說明：2(n-1)+1是紫色的部分，看左側的圖，紫色轉角的部分為1，除去這個轉角，橫向和縱向各為n-1，此外還有右側圖形最底層的兩側，各增加一個黑色方塊，即2；圖形的高為1+2+……+n=n(n+1)/2;圖形的面積為（2n+1)n(n+1)/2，即n(n+1)(n+1/2)，而這個圖形是3個1方+2方+……+n方，即1方+2方+……+n方=n(n+1)(n+1/2)/3。