彭羅斯階梯:眼見不一定為實

如果有一天有人這樣告訴你：「你可以沿著一段一直向上的臺階（或樓梯）走，最終能回到出發點。」你會怎樣回答？單憑直覺和邏輯，你可能馬上會說「這絕不可能」。那為什麼還會有人如此發問呢？說到這裡，我們就不得不提埃舍爾的著名版畫作品《上升與下降》，在這幅版畫的城堡樓頂上，你會看到內圈的隊伍一直在下坡，外圈的隊伍卻一直在上坡，並形成一個迴路，周而復始。你能看出其中的奧秘嗎？其實，我們將它抽象畫出來，就是彭羅斯階梯（或臺階）。

part.1

初識彭羅斯階梯

最早記載的彭羅斯階梯是瑞典藝術家奧斯卡·路透·瓦德（Oscar Reutersv rd）在1934年製作的雕塑。後來，英國數學家、物理學家羅傑·彭羅斯（Sir Roger Penrose）和他的父親，精神病學家、遺傳學家萊昂內爾·彭羅斯（Lionel Sharples Penrose）設計了多種「不可能存在」圖形並進行了推廣。1958年2月，他們把這個作品發表在《英國心理學雜誌》上。自此，後續的學者將其命名為彭羅斯階梯（Penrose Stairs）。據悉，彭羅斯階梯的創作也受到了荷蘭畫家埃舍爾（Escher）的一些「不可能存在的畫作」的啟發。

彭羅斯階梯是著名的數學悖論之一，指的是一個始終向上或向下但卻無限循環的階梯，可以視為彭羅斯三角形的一個變體，在此階梯上永遠無法找到最高點或者最低點。彭羅斯階梯違反了歐幾裡得幾何學的基本規則，描繪了一個在三維世界（我們現在生活的世界）中不可能存在的物體，即：如果一段臺階都是連續上升（或者下降）的，那麼整段臺階的高度就是大於零的，也就不可能回到原點。直覺和邏輯都告訴我們被騙了，但又是為什麼呢？

part.2

彭羅斯階梯的原理

在地面上繪製的藝術品

在現實生活中，我們經常能看到一些平面上繪製的立體畫。在特定的視角觀察這些立體畫，我們可以感受到一種三維錯覺。比如上面這幅畫，從我們眼睛的角度看上去好像是三維的，但其實這些畫是在一個平面上製作出來的，只不過是在繪畫的過程中，通過一些手法對細節進行了處理，從而讓我們產生錯覺，有了一種立體的感覺。

從正面視角看，地面上繪製的藝術品確實有很強的三維衝擊感，但是當我們變換位置，這種三維的感覺就會消失。也就是說，在二維平面上設計的三維圖片，在缺少第三維限制的情況下是可以輕易表現出高低不同的細節，從而以假亂真，讓我們的眼睛產生錯覺。而彭羅斯階梯也是如此。

前面我們已經說過，彭羅斯階梯可以被視為彭羅斯三角形的一個變體，彭羅斯三角看起來像是一個物體，由三個截面為正方形的長方體所構成，三個長方體組合成為一個三角形，但兩長方體之間的夾角似乎又是直角。上述性質無法在任何一個正常三維空間的物體上實現。儘管彭羅斯三角在三維中不可能存在，但如果從三維空間的特定角度去看，其看到的圖案和彭羅斯三角相同。比如在澳大利亞的西部東珀斯，就有一座彭羅斯三角雕塑，這個效果其實是三維物體在特定角度的二維投影，但是人腦還在思考三維的模樣，因此就出現了錯覺。

儘管彭羅斯階梯無法在生活中實現，但我們也可以模擬這種效果。找一段足夠長的階梯，然後每一層的階梯要做得很寬，我們可以把這些階梯做出一定的坡度，由於距離較遠，那些小的坡度就很不容易被人察覺到。每隔一段距離就做一個明顯的階梯，再將這種階梯做成蜿蜒曲折的樣子，然後加上一定的障礙物，就可以在視覺上達到以假亂真的效果了。

part.3

常上螢屏的彭羅斯階梯

在一些影視作品中，經常出現彭羅斯階梯的影子，比如《鬼吹燈》裡的「懸魂梯」和《盜夢空間》裡那個永遠走不完的樓梯。在這些情節中，關鍵人物走入了一圈又一圈的死循環，陷入了難以擺脫的困境。

《盜夢空間》中，埃姆斯（Eames）教築夢師愛蓮（Ariadne）利用彭羅斯階梯設計高難度的夢境。埃姆斯和愛蓮沿著彭羅斯階梯一直上樓，每一圈都會經過那個整理文件的秘書。但是鏡頭一轉，埃姆斯展示了轉換視角後的彭羅斯階梯：顯然中間割裂開來了。

原來，在夢境中加入彭羅斯階梯，不同的時刻展示彭羅斯階梯的不同視角，可以讓主人公趨利避害。最終，築夢師愛蓮在第二層夢境中設計了彭羅斯樓梯：埃姆斯在夢境中被敵人追趕著下樓後，夢境中設計的視角開始變換，敵人站到割裂開來的樓梯旁邊不知所措，然而埃姆斯卻從敵人背後出現,將敵人制服並推下梯。

彭羅斯三角形、彭羅斯階梯等圖形又被稱為不可能圖形，即在現實世界中不可能存在，在平面設計中違背了透視原理。它們是利用人的 「視覺誤差」 而形成的一種光學錯覺，只存在於二維世界。這些圖形看起來很 「理所應當」，但如果你用手指沿著這些圖形上任意一面 「走」一遍，就能發現根本走不通。

作者|劉剛（中國科學院數學與系統科學研究所）

本文來自《知識就是力量》雜誌