數學家的視覺藝術——彭羅斯和他的圖形

彭羅斯不僅在數學物理領域的造詣深不可測，在趣味數學和哲學方面也有重要的影響。他曾經創造了一批「四維空間的圖形」，意思就是說，這些圖形在三維空間是不可能存在的。

詭異的三角形

你一定見過這樣的三角形吧？它看起來像是一個固體，由三個截面為正方形的長方體所構成，三個長方體組合成為一個三角形，但兩長方體之間的夾角似乎又是直角。

現實中，這樣的三角形根本不存在，但它有一個名字，叫做「彭羅斯三角」。它是所有不可能圖形中最基礎、最著名的一個。

小時候，彭羅斯的父親萊昂內爾·彭羅斯常常會給他出謎題和做玩具，啟發他的動手能力，還給他修建了一間小木工棚。有一次，父親做了12塊不同的木楔，然後給出了組合規則，讓他用各種複雜的方式把這些形狀各異的木楔組合起來。正是這種訓練，在很大程度上啟發了他成年以後對空間幾何的思考。

無限循環的階梯

相信很多人都看過《盜夢空間》這部經典的電影。在電影裡，在第二層夢境中，迪卡普裡奧的助手列維特逃跑過程中突然發現無路可逃，他面對的樓梯處在無限死循環當中。

這種樓梯，叫「彭羅斯階梯」，是彭羅斯的另一代表成就，一個著名的幾何學悖論。1958年，他提出這個理論之後，他的朋友——荷蘭畫家莫裡茨·埃舍爾對此很感興趣，並充分利用彭羅斯階梯，作了一幅畫，叫做《上行和下行》，如下圖：

從直觀的視覺來看，彭羅斯階梯就是由四條首尾相連接的階梯構成，在這四條階梯當中，你找不到最高的一點，也找不到最低的一點，它們可能始終都是向下或者向上，但永遠都走不到頭。

一旦走進彭羅斯階梯就會迷失，一次又一次地回到原本的位置。從直觀的角度來看，破解彭羅斯階梯很簡單，只要跳出階梯就行了，但是身在其中，由於視覺受蒙蔽，你根本不知道該從哪裡去破解。

彭羅斯階梯在三維空間並不存在，它只會存在於二維世界或者更高階的空間當中。自從這個彭羅斯階梯被提出後，有不少的科學家試圖去證實它的存在，但最終都失敗了。

雖然三維現實中它並不存在，但是不少的影視作品都採用了彭羅斯階梯的理論，除了《盜夢空間》出現的無限循環的樓梯，《盜墓筆記》當中也使用了彭羅斯階梯的原理。

此外，彭羅斯階梯似乎也可以用來解釋人們常說的「鬼打牆」。一般來說，「鬼打牆」都是出現在夜晚或者郊外，人往往會因為「鬼打牆」總是在原地轉圈。

在古代，一些術士會利用奇門八卦來破解它，即算出一條所謂的「生門」。而這種「生門」在科學界早就有了一種解釋——

將人或者某個生物的眼睛蒙上，你會發現不管他們怎麼走都只是一個圓圈，換句話說，生物的運動本能就是圓周運動。如果沒有任何目標，他們就會自然而然地「繞圈」走，而生物之所以能夠保持直線運動，是因為其眼睛在修正路線。古代風水術士在「尋龍定穴」時，也會布置一些標誌物，擺一個陣，道理就在於人往往會依賴自己的視覺。

由此可見，眼見不一定為實，眼睛被矇騙了，人就會迷失，這個靈異的「鬼打牆」在一定程度上，也是因為彭羅斯階梯的原理。

永不重複的圖案

彭羅斯在建築界也是赫赫有名，因為他發明了「彭羅斯瓷磚」，改變了裝潢的藝術。

「彭羅斯瓷磚」是一種非周期性鑲嵌方式，它構成的圖案非常神奇——就算鋪滿世界，圖案也不會重複。

當時，他的畫家朋友埃舍爾，對形似生物的形狀進行「周期性鑲嵌」而創作了許多圖畫，從而聞名遐邇。

所謂的周期性鑲嵌，是指你可以描出一個區域的輪廓，通過平移這個區域就可以鑲嵌整個平面，所謂平移就是在不通過旋轉或者翻轉的情況下移動這個區域的位置。例如，在埃舍爾的一幅代表作中（下圖），一對毗連的黑鳥和白鳥構成了一個平移鑲嵌的基本區域。想像這個平面上蒙著一層透明的紙，紙上描出了每片鑲嵌片的輪廓。只有在鑲嵌方式為周期性時，你才能在不通過旋轉的情況下將這張紙移動到一個新的位置，使得所有輪廓都再次恰好相符。

埃舍爾一直認為通過各種各樣的平移和反射，一幅鑲嵌圖案可以無限期地繼續下去。然而，當彭羅斯送給他一套自己製作的木板拼圖時，卻徹底改變了他的這種想法。

彭羅斯送給他的拼圖是這樣的：基本圖形只有一個——一個菱形的變形圖案。菱形的兩條邊被切割出一個60°/120°的梯形形狀，如圖所示。然後讓他把這些圖形隨意拼合形成一幅鑲嵌圖案。

據說埃舍爾最終花費了幾個星期，才非常驚訝地發現只有一種獨特的方式可以將它們全部組合起來，而且它的圖案是非周期性的，完全不重複，與他之前的認識完全不同。

在這之後，彭羅斯又發明了一種只有兩種基本形狀的非周期性鑲嵌方案。他稱這兩個圖案為飛鏢（右）和風箏（左）。它們通過最明顯的方式就能拼在一起，形成一個菱形。

但是，如果你想創造一個非周期性鑲嵌，就不能以這種方式拼接。上圖中的弧線指示了拼接規則：弧線段必須連在一起。後來人們發現，這些非周期性的鑲嵌可以通過第二種形狀來創建: 一個銳角菱形和一個鈍角菱形，角度分別為(36°, 144°)（上圖左）和（72°, 108°）（上圖右），即所有的角的度數必須是36的倍數。在彭羅斯拼圖中，飛鏢與風箏的比例以及銳角與鈍角的比例總是相同的，這個數值就是黃金分割比例——1:1.618。換句話說，如果一個彭羅斯拼圖包含100個飛鏢，它將包含162個風箏。數字越大，比率越接近黃金分割比率。

「彭羅斯瓷磚」最初的價值更多體現於實用美學，但後來人們終於發覺，這種鑲嵌的三維形式正是物質的新形態基元，現代晶體學所熱衷於探討的「準晶體」便需要藉助於「彭羅斯點陣」的思想方法來構造。