「斐波那契」螺旋:準晶結構中的非線性自旋-軌道角動量耦合

電磁波可攜帶角動量，包含自旋角動量（spin angularmomentum, SAM）和軌道角動量（orbital angular momentum, OAM）。其中，SAM主要通過圓極化波進行傳播，左旋/右旋極化波描述了光子的自旋狀態且每個光子分別承載了+/- ℏ 的SAM，其中ℏ為約化普朗克常量。而OAM則描述了電磁波波前以及光子的渦旋狀態，每一個光子包含lℏ的OAM，其中l為方位角模式因子，可為任意常數。不僅基頻電磁波，高次諧波也可攜帶角動量進行傳播，且角動量的轉換滿足守恆律。近期安徽大學黃志祥教授課題組與浙江大學沙威研究員課題組合作，使用時域有限差分方法（FDTD）求解麥克斯韋-流體動力學耦合方程，分析了自旋和軌道角動量在準晶體中的轉換和傳播。其中準晶結構是一種介於周期結構和無序結構之間的一種新穎結構，其具有自相似性、長程有序性、高維旋轉對稱性，且遵循特定的生成法則但又不具備平移對稱性。它在光子晶體微腔、彎曲波導、光譜儀、光電子器件等光學領域中展現出重要的應用價值。本文詳細的研究了一種向日葵型（「斐波那契」螺旋或黃金螺旋）準晶結構，該結構具有如下獨特的性質：具有高維度的旋轉對稱性、各向同性的帶隙、其在倒易空間為一個連續的圓對稱環。仿真結果表明：通過該結構可以同時在基波和二次諧波中實現角動量的高維度轉換。該研究成果以「Linear and nonlinear spin-orbital coupling in golden-anglespiral quasicrystals」為題發表在《Optics Express》期刊上。

1.  麥克斯韋與流體動力學方程耦合模型

其中，e和m為電荷量和電子質量。J是極化電流，v是電子速度，n是電子密度, γ是散射率。v·▽v是對流加速項, ▽p/n為量子壓力項，其中流體方程式(1)和(2)中的v·▽v和v×B項為非線性項，表徵材料的非線性特性，▽p/n則主要表徵材料的非局域特性。式(2)為電流連續性方程，保證了材料內部的電荷守恆。上述流體方程、電流連續性方程與麥克斯韋方程一起可自洽的模擬光學材料的非線性和非局域特性。

 

2.  向日葵型準晶模型

 

圖1 非線性向日葵螺旋陣列示意圖。

  眾所周知，向日葵（太陽花）的花蕊圖案是「斐波那契」螺旋的其中一種形式，可以通過特定的生成法則來確定其分布規律，該法則由Vogel首次提出，極坐標系中向日葵花蕊的生成法則可以表示為：

其中，r和θ表示在極坐標下向日葵頭中的花或種子的空間位置，r為距離圓心的半徑，θ為發散角，n是整數（即n = 0, 1, 2, …）並且代表向日葵頭中的種子的總數量，φ稱為黃金角或斐波那契角，它給出了螺旋陣列中粒子相鄰位置矢量r(n) 和 r(n + 1)之間的恆定孔徑的大小。對於向日葵型螺旋，黃金角的取值設置為：φ=360/α/α ≈ 137.508˚，其中α≈1.618是黃金分割比，k代表的是伸縮因子。向日葵頭螺旋最顯著的特徵是圖案可以分解成兩組圓弧或弧列線，一組順時針旋轉，另一組逆時針旋轉。值得注意的是，兩組旋轉的弧線數始終保持為斐波那契序列中兩個連續的值，如圖1所示，向日葵圖案中沿順時針方向的弧線數為：p = 13（紅色），沿逆時針方向的弧線數為：q = 21（藍色）。黃金角φ可利用黃金分割比α的有理近似和弧線數量的比率(p/q)並通過公式360/(1+ p/q)/α 近似求得。因此，向日葵頭中種子的排列也稱為黃金角螺旋陣列或「斐波那契」螺旋陣列。此外，由於斐波那契角φ是無理數，因此向日葵頭螺旋結構既不是傳統的旋轉結構也不是平移對稱結構。有趣的是，向日葵螺旋具有獨特的高維度旋轉對稱特性，而連續的斐波那契數（N = 0,1,1,2,3,5,8,13,21 ......）則被編碼在獨特的螺旋模型之中。因此，通過向日葵螺旋圖案來實現高維度的角動量轉換是可行的。

 

圖2  （a）向日葵螺旋陣列；（b）向日葵螺旋陣列的離散傅立葉變換。

  為了更好理解等離子體向日葵圖案的衍射特性，探索該結構在倒易空間矢量或傅立葉空間的性質具有重要意義，傅立葉空間的信息可通過離散傅立葉變換（DFT）獲得。圖2為由1000個顆粒組成的向日葵型圖案的（a）時域空間和（b）傅立葉空間示意圖。因為Vogel螺旋結構不具有傳統的旋轉對稱性，確定性的向日葵陣列的空間傅立葉光譜沒有表現出明顯的布拉格峰，而是具有高度的各向同性漫射特徵和近似的連續圓對稱特性。

3.  角動量守恆定律

  假設攜帶自旋角動量和軌道角動量的入射場，照射N重旋轉對稱的納米結構。為了說明在線性和非線性相互作用過程中，角動量從入射場轉移到散射場的規律，普適的角動量守恆定律由下式給出：

其中，jsca表示散射場中角動量的總數，s是諧波的階數（線性過程為s = 1，二次諧波為s = 2，三次諧波為s = 3等），l代表入射場的軌道動量數（l = 0，±1，±2，±3等），σ是入射場的自旋角動量數（左旋圓極化的σ = 1，右旋圓極化的σ = -1）。q是任意的整數（q = 0，±1，±2，±3等），N是N重旋轉對稱納米結構的準角動量數。

  

  為了驗證角動量守恆定律，使用多極展開法分析了單個納米柱的基頻和二次諧波頻率下散射場的總角動量。首先，使用右旋圓偏振入射光束（l = 0和σ= -1）照射半徑r = 143 nm且高度h = 50 nm的金納圓柱（N→∞, q=0），該納米柱的諧振波長為780 nm。為了研究電多極子和磁多極子在散射場總角動量中的相對貢獻，將金納米圓柱散射場的基頻和二次諧波頻率的角動量分解為不同的通道。圖3展示了電多極子和磁多極子對散射場總角動量的相對貢獻。根據公式（6），基頻下散射場（s = 1）的總光學角動量的量子數為jsca= 1×（-1 + 0）= -1（見圖3(a)-(b)）。而二次諧波散射場（s = 2）的總光學角動量的量子數為jsca = 2×（- 1 + 0）= -2（見圖3(c)-(d)）。上述根據普適角動量守恆定律預測的結果與圖3所示的散射場基頻和二次諧波頻率下的總角動量的多極分解結果完全吻合。此外，為了進一步理解和驗證其物理機制，圖4(a)-(d)表示電多極和磁多極共振模式L，其中 L ≥ | jsca |。對於線性過程，其諧振模式為電偶極子（如圖4(b)所示），磁偶極子和四極子（如圖4(a)所示）。對於二次諧波產生過程，其諧振模式為電四極子（如圖4(d)所示），磁四極子和磁八極子（如圖4(c)所示）。

 

圖3 金納米柱在基頻和二次諧波頻率下散射場的角動量分布，入射波為右旋圓極化波。（a）基頻、磁多極子（b）基頻、電多極子（c）二次諧波、磁多極子（d）二次諧波、電多極子。

 

圖4 金納米柱在基頻和二次諧波頻率下電多極和磁多極共振模式分布，入射波為右旋圓極化波。（a）基頻、磁多極（b）基頻、電多極（c）二次諧波、磁多極（d）二次諧波、電多極。

 

4.  角動量的高維度轉換

  圖1描繪了具有高維度旋轉對稱性的向日葵型等離激元準晶體結構，其由若干金屬納米柱按照一定的規律排列而成。由於計算效率的限制，向日葵型金屬準晶體由100個相同的納米柱組成。入射波設置為右旋圓極化波（l = 0和σ= -1），根據普適角動量守恆定律可預測出「斐波那契」螺旋陣列總光學角動量的量子數。首先，對於基頻散射場（s = 1），可預測量子數為jsca = 0,1,1,2,3,5,8,13 + 1×(-1 + 0)= -1,0,1,2,4,7,12和jsca = -1,-1,-2,-3,-5,-8,-13 + 1×(-1 +0)= -2,-3,-4,-6,-9,-14。對於二次諧波頻率下的散射場（s = 2），可預測量子數為jsca = 0,1,1,2,3,5,8,13,21 + 2×(-1 + 0)= -2 ,-1,0,1,3,6,11,19和jsca = -1,-1,-2,-3,-5,-8,-13,-21 + 2×(-1 + 0) = -3,-4,-5,-7,-10,-15,-23。圖5表示的是在基頻和二次諧波頻率下向日葵型準晶體散射場中電多級子和磁多極子對總角動量的相對貢獻。從圖中可以看出，該結構的旋轉對稱性影響了光學角動量在基頻和二次諧波頻率從入射場到散射場的轉換。令人驚奇的是，具有高維度旋轉對稱性的向日葵螺旋陣列將斐波那契序列編碼到其結構之中，產生了獨特的光學共振，並且可以觀察到角動量從入射場到散射場的高維度轉移現象。上述計算結果與普適角動量守恆定律的預測結果完全一致。圖6給出了納米柱和向日葵型準周期晶體電場強度在基頻和二次諧波頻率下的場值分布圖。

圖5 向日葵結構在基頻和二次諧波頻率下散射場的角動量分布，入射波為右旋圓極化波。（a）基頻、磁多極子（b）基頻、電多極子（c）二次諧波、磁多極子（d）二次諧波、電多極子。

圖6  納米柱和向日葵型準周期晶體電場分布圖。（a）和（b）為基頻下的場值分布；（c）和（d）為二次諧波頻率下的場值分布。

 

【1】    Ming Fang, Zhixiang Huang, Wei E.I.Sha, Xiaoyan Y. Z. Xiong, and Xianliang Wu, 「Full Hydrodynamic Model ofNonlinear Electromagnetic Response in Metallic Metamaterials,」 Progress InElectromagnetics Research, vol. 157, pp. 63-78, Oct. 2016.

【2】  Kaikun Niu, Xingang Ren, Ming Fang,Zhixiang Huang, Hao Ren, Xianliang Wu, and Wei E.I. Sha, 「Linear andNonlinear Spin-Orbital Coupling in Golden-Angle Spiral Quasicrystals,」OSA, Optics Express, vol. 38, no. 1, pp. , Dec. 2019. 

https://doi.org/10.1364/OE.373957  （點擊下面的 閱讀原文 可下載）

該報告是安徽大學博士（目前在KAUST做博士後）牛凱坤撰寫。任何相關討論，可聯繫牛凱坤（[e-mail]）、黃志祥教授（[e-mail]），和我（[e-mail]）。

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