高中數學概率與數列,多面體爬蟲遞推公式

2021-01-11 思恩試卷

高中數學概率與數列，多面體爬蟲遞推公式

【例題】

設正方體的八個頂點是A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，稜長為1m，一隻小蟲從A1點出發，按照以下規則爬行：假設稜a，b，c交於點P，小蟲已經沿著稜a爬到頂點P，那麼這一步小蟲要在a，b，c中任選一條稜爬行到下一個頂點p′。小蟲爬了x m之後恰好回到頂點A1的概率記為p（x），求P（10）=______，當x是一個很大的正偶數時，p（x）趨近於______。

【 解析】

考慮一般情況，將正方體的頂點分組：

若小蟲出現在A1，A3，A6，A8中的某一點，

則小蟲下一步必將出現在A2，A4，A5，A7中的某一點。

設小蟲走過n m之後到達A1，A3，A6，A8的概率分別為

p1（n），p3（n），p6（n），p8（n）

小蟲走過（n+1）m 之後到達A2，A4，A5，A7的概率分別為

p2（n+1），p4（n+1），p5（n+1），p7（n+1），則:

p2（n+1）=（p1（n）+p3（n）+p6（n））/3;

P4（n+1）=（p1（n）+p3（n）+p8（n））/3;

P5（n+1）=（p1（n）+p6（n）+p8（n））/3;

P7（n+1）=（p3（n）+p6（n）+p8（n））/3;

小蟲走過（n+2）m 之後到達A1，A3，A6，A8的概率分別為

p1（n+2），p3（n+2），p6（n+2），p8（n+2），則:

P1（n+2）=（p2（n+1）+p4（n+1）+p5（n+1））/3

=（3p1（n）+2p3（n）+2p6（n）+2p8（n））/9

=2/9+p1（n）×2/9

P3（n+2）=（p2（n+1）+p4（n+1）+p7（n+1））/3

=（2p1（n）+3p3（n）+2p6（n）+2p8（n））/9

=2/9+p3（n）×2/9

P6（n+2）=（p2（n+1）+p5（n+1）+p7（n+1））/3

=（2p1（n）+2p3（n）+3p6（n）+2p8（n））/9

=2/9+p6（n）×2/9

P8（n+2）=（p4（n+1）+p5（n+1）+p7（n+1））/3

=（2p1（n）+2p3（n）+2p6（n）+3p8（n））/9

由此產生遞推公式

P1（2）=3/9

P3（2）=2/9

P6（2）=2/9

P8（2）=2/9

P1（4）=2/9+3/9×1/9=21/81

P3（4）=2/9+2/9×1/9=20/81

P6（4）=2/9+2/9×1/9=20/81

P8（4）=2/9+2/9×1/9=20/81

P1（6）=2/9+21/81×1/9=183/729

P3（6）=2/9+20/81×1/9=182/729

P6（6）=2/9+20/81×1/9=182/729

P8（6）=2/9+20/81×1/9=182/729

P1（8）=(3^8+3)/(4×3^8)=1641/6561=547/2187

P1（10）=(3^10+3)/(4×3^10)=4921/19683

P1（x）=0（x為奇數）

P1（x）=(3^x+3)/(4×3^x)（x為偶數）

當x是一個很大的正奇數時，p（x）趨近於0；

當x是一個很大的正偶數時，p（x）趨近於1/4，

當x是一個很大的正整數時，p（x）趨近於0或1/4。

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