亞里斯多德 三段論
三段論是一個包括大前提、小前提和結論三個部分的論證形式，這是—個基本推理的模式。三段論有不同的種類，亞里斯多德稱它為格，最初弧裡士多德定義了三種格，後來經院學者又增加了第四格，但現在已經證明後三種格可以歸結為第一格。下面我們比較仔細地分析第一格，我相信，通過這個分析可以理性地把握數學證明的形式，特別是把握基本推理的
邏輯判斷模式。三段論的第一格分為四種型，分別闡述如下：
全稱肯定型專業術語為AAA型。亞里斯多德給出的例子是：
凡人都有死。蘇格拉底是人，所以蘇格拉底有死。
上述三句話分別就是大前提、小前提、結論。如果用A表示人的集合，用x表示蘇格拉底，用P表示死這樣的事情，則上面的推理形式可以為
A→P
x∈A
/x→P (1)
其中／代表「所以」的意思，即／的前面是條件，／的後面是結論。顯然，這是一個基本推理，因為這是從一個命題判斷A→P直接到達另一個命題判斷x→P的過程，其中過渡的橋梁是x∈A。這個推理模式是不會有任何錯誤的，因為結論x→P是來源於大前提A→P的定義，因此，從條件到結果是必然的。從推理的過程看，可以認為這個形式的推理是不言而喻的，甚至可以認為這個形式的推理是毫無意義的，但是，這個論證形式在日常生活中特別是在數學證明中卻是非常重要的。
回憶歐幾裡得《原本》中的第一個數學問題，這個問題的證明可能是現存的能夠被稱為數學證明的第一個證明。數學問題是：對於給定的線段AB，要求在AB上作一個等邊三角形。歐幾裡得首先作出了點C，然後給出結論：「已經證明了CA，CB都等於AB，因為等於同量的量彼此相等，所以CA也等於CB。因為三條線段CA，AB，BC彼此相等，所以三角形ABC是等邊的。」（參見《圖形抽象的典範》）我們把歐幾裡得的證明轉換為三段論的形式：
凡是等量彼此相等。CA，CB都等於AB。所以CA等於CB。
如果用集合A表示「所有的等量」，用命題P表示「彼此相等」，利用歐幾裡得給出的第一個公理：等於同量的量彼此相等，可以得到大前提A→P。接下來，用元素x表示關係「CA =AB且CB =AB」，因為x∈A，那麼結論是「三個線段彼此相等」，即x→P。可以看到，數學的第一個證明就利用了三段論的推理形式。
事實上，在三段論的推理過程中結論反而不是重要的，關鍵在於前兩條A→P和x∈A是否成立，第一條通常是一個已知事實，比如公理，假設或者定理，因此，第二條往往是數學證明的重點。我們通過三段論的省略形式來分析前兩條的重要性，在我們的日常生活中經常會用到這些省略形式。
省略大前提往往認為大前提是人所共知的，可以省略，於是推理形式為：
x∈A
/x→P
這樣，亞力士多德的那段話就變為：「蘇格拉底是人。所以蘇格拉底有死。」
省略小前提往往是為了便捷，把小前提與結論一起闡述了，於是推理形式為：
A→P
/x→P
這樣，亞里斯多德的那段話就變為：「凡人都有死。所以蘇格拉底有死。」
上面的推理形式在我們的日常生活中似乎是可以的，但是，在數學的證明過程中一定要慎重使用這種推理形式，在數學的證明過程中一定要對大前提和小前提進行明確說明，否則可能會出現錯誤。
比如，關於省略大前提的例子：
矩陣的乘法是乘法，所以矩陣乘法可以交換
這個結論是不正確的，因為我們通常所說的矩陣乘法是不可交換的。那麼，上述推理的問題出在哪裡呢？就在於省略的大前提：「乘法是可以交換的。」就像我們曾經分析過的，在大前提中所說的乘法是指通常的四則運算中的乘法；而矩陣的乘法以及群的乘法是在四元數的啟發下定義的乘法，這種乘法是不滿足交換律的，這種乘法只是一種名義定義，並不是通常在
數的意義下的乘法。如果用A表示四則運算的乘法或者滿足交換律的乘法，用x表示矩陣乘法，那麼x∈A不成立.
再比如，關於省略小前提的例子：
凡數都可以比較大小。所以複數可以比較大小。
這個結論顯然也是不對的，因為在一般情況下複數是不可以比較大小的。那麼，問題出在什麼地方了呢？回憶我們在《數的表示》中關於數的定義：數字是那些能夠由小到大進行排列的符號，這便是大前提中所說的數。用A表示這個數集，用x表示複數，因為複數並不是通常意義的數（參見《複數的意義》），不具有數集A所具有的那些性質，因此x∈A不成立。
所以，在數學的證明中不能使用三段論的省略形式，必須注意到：小前提被大前提包含是三段論的核心，如果用省略形式可能會出現基本概念的混淆，也就是說，在三段論的論證過程中證明x∈A是不可以忽略的，這一點也是同一律所要求的。
全稱否定型專業術語為EAE型。亞里斯多德給出的例子是：
沒有一條魚是有理性的。所有的鯊魚都是魚。所以沒有一條鯊魚是有理性的。
這個推斷在本質上與全稱肯定型是一致的，只不過是用了否定的形式。如果用A表示所有的魚，用P表示理性，則A～P述說了大前提；進一步用x表示鯊魚，那麼，這個三段論形式為
A～P
x∈A
/x～P (2)
這種推理模式得到的結論也是必然的，因為與全稱肯定型一樣，仍然是結論出自大前提的定義，在這個推理模式中，重要的工作仍然是驗證小前提是否成立。我們給出一個數學的例子：
以有理數為係數的方程的根不可能是π。所有的整數都是有理數。所以以整數為係數的方程的根不可能是π。
這個推論顯然是正確的。與全稱肯定型比較，有一個問題是應當注意到的，就是在全稱肯定型中的小前提中涉及的事物是一個元素，而現在小前提中涉及的事物是一個集合，亞里斯多德沒有注意到這個區別，但是在現代邏輯學中，學者們認為分辨這個區別是重要的，我們討論如下。
令A和B為兩個集合，如果B中的任意元素都屬於A，即x∈B→x∈A，則稱集合B是集合A的子集合，記為BA。可以看到，在全稱否定型亞里斯多德給出的例子中，所有的鯊魚也是一個集合，如果用B表示這個集合，三段論的形式應當為
A～P
BA
/B～P (3)
顯然，這種推論形式也可以用於全稱肯定型，即可以在(1)式中把元素x變換為子集合B.羅素認為這個變換是可能出現問題的，比如，變換亞里斯多德最初的例子：
凡人都有死。所有希臘人都是人。所以所有希臘人都有死。
針對這個形式。羅素認為有兩個問題是需要注意的，一個問題是需要驗證「所行的希臘人都是人」這個命題，因為這個命題應當分解為兩個子命題：「有希臘人存在」和「如果有東西是一個希臘人，那麼這個東西是人」；還有一個問題是判斷「蘇格拉底有死」與判斷「所有希臘人都有死」是不一樣的，因為前者是具體的存在，而後者是一般的存在，正如我們在《圖形與圖形關係的抽象》中討論的那樣，一般存在不是現實的存在，因此要判斷一般存在的屬性是非常困難的。於是羅素認為：「這種純形式的錯誤，是形上學與認識論中許多錯誤的一個根源。」
我並不認為羅素指出的兩個問題有多麼嚴重，至少在數學中是這樣，因為在數學中可以認為一個元素也是子集。但是他指出的，判斷一般存在的屬性要比判斷具體存在的屬性困難，這是千真萬確的，我們很容易判斷蘇格拉底是否會死，但很難判斷所有的人是否會死，可是，按照這樣的思維邏輯，三段論似乎是本末倒置了，因為，在亞里斯多德倡導的三段論中，把一個判斷困難的、具有一般性的命題作為前提，把一個判斷不困難的、具有特殊性的命題作為結論。如何理解這個問題呢？這就涉及了三段論的本質。
工具論
事實上，統觀亞里斯多德的《工具論》可以知道，亞里斯多德提出的前提是有根基的，典至可以追溯到公理和公沒，比如在上述歐幾裡得的證明中，大前提「等於同量的量彼此相等」就是一個公理，因此，我們可以理解大前提中提出的命題是已經被確認的，也就是說，「凡人都有死」這個命題是已經由「許許多多」個蘇格拉底有死總結出來的，而利用三段論推斷的是「這個」蘇格拉底有死，正是因為判斷具體存在的屬性比判斷一般存在的屬性容易，因此，日常生活和生產實踐中，人們通常由具體存在的屬性推斷一般存在的屬性，這種推理的方法被稱為歸納法，我們將在後續《數學中的歸納推理》專題討論這個問題。經典歸納法是由英國哲學家培根(1561～1624)總結出來的，他在總結之前毫不留情地批評了亞里斯多德的三段論（參見《數學的抽象》）。
我認為，至少對於數學的論證，下面的問題是重要的：在直言三段論的論證模式(1)式中，用子集合B代替元素x時必須慎重，這是因為，在集合A中不完全成立的命題在子集合B中可能完全成立，看下面的例子：
所有的三角形至少有一個銳角。所有的直角三角形都是三角形。所以所有的直角三角形都至少有一個銳角 (4)
這個結論是正確的，但這個結論是不充分的，因為直角三角形恰好有兩個銳角。對於數學的推理而言，我們總是希望得到恰到好處的結果，很顯然，結論「所有的直角三角形恰有兩個銳角」要比命題(4)給出的結論更加準確，這個問題涉及大前提中集合A與命題P之間的關係，我們將在下一節討論這個關係，從而給出三段論的一般形式。
亞里斯多德
下面繼續討論三段論第一格中其餘兩種類型，通常被稱為特稱型。
特稱肯定型專業術語為AII型。亞里斯多德給出的例子是：
凡人都有理性。有些動物是人。所以有些動物是有理性的。
特稱否定型專業術語為EIO型。亞里斯多德給出的例子是：
沒有一個希臘人是黑色的。有些人是希臘人。所以有些人不是黑色的。
與全稱型不同的是，特稱型的推斷中使用了「有些」這樣的詞語，因此這樣的推斷與全稱型有本質的不同：全稱型的小前提是在集合A的內部；特稱型的小前提是在集合A的外部，比如對於全稱型，「蘇格拉底」是在「人」這個集合的內部，「鯊魚」是在「魚」這個集合的內部；但對於特稱型，「動物」是在「人」這個集合的外部，「人」是在「希臘人」這個集合的外部，所以在結論中才必須用「有些」這樣的限制詞。特稱肯定型的符號形式可以描述為：
A→P
AB
/A∩B→P (5)
特稱否定型的符號形式可以描述為：
A～P
AB
/A∩B～P (6)
在上述推斷中，集合B包含大前提中的A，其中符號A∩B表示的也是一個集合，稱其為集合A與B的交集合，表示的是集合A和集合B的共同部分，即x∈A∩B意味著x∈A並且x∈B。顯然，如果AB，那麼必然有A∩B=A。因此，就形式而言(5)和(6)中的結論是一點意義也沒有的。事實上，三段論的這兩個特稱型的核心是為了換一個稱謂，比如，雖然在(5)的結論中A ∩B指的仍然是人，但指的是動物集合B中人的那個部分；雖然在(6)的結論中A∩B指的仍然是希臘人，但指的是人的集合B中希臘人的那個部分。
就數學而言，如果是為了得到肯定的結論，那麼這種論證是沒有用處的，因為對於數學，一個結論在「有些」情況下成立是沒有意義的，比如，我們在《數量與數量關係的抽象》中討論過哥德巴赫猜想，容易驗證小於100的偶數都可以表示為兩個素數和的形式，於是由(5)可以得到推論：
所有100以下的偶數都可以表示為兩個素數的和。有些偶數是100以下的。所以有些偶數可以表示為兩個素數的和。
顯然，對於數學來說，這樣的結論是一點意義都沒有的。
但是，為了得到數學的否定結果，(6)的論證形式卻是強有力的，因為對於科學而言，為了駁倒一個論斷只需要舉出一個反例就可以了。比如，在《幾何作圖及相關的數學發展》中涉及三等分角的問題，雖然我們只討論了60度角這一種情況，但我們可以從這種情況出發進行下面的推論：
60度角是不能三等分的。有些角是60度角。所以有些角是不能三等分的。
進而得到結論：三等分角是不可能的。雖然在上述三段論的大前提中，我們用一個元素代替了集合，但這種形式在數學中是更加有效的。
這樣就可以得到結論：對於數學的推理而言，全稱肯定、全稱否定、特稱否定這三種形式的直言三段論是有效的，也是經常被使用的。