神奇的1與多項式次方

2021-01-11 另一座數學城堡

不知道大家有沒有印象，有沒有注意過以下幾個巧合：

首先請大家計算11的n次方:

11的一次方

11的二次方

11的三次方

11的四次方

結果分別為：11,121,1331,14641

其實這些數剛好就是n的組合數，也就是11的n次方這個數它的10的k次方位上應該是C(n,k)，這個規律很好證明，只需要寫成(10+1)的n次方，然後二項式定理展開即可。

那麼我們也就可以得到兩位數平方速算法，譬如兩位數ab的平方，其百位應該是a的平方，十位是2ab，個位是b的平方，舉幾個簡單的例子：

12的平方等於1_4_4

54的平方就等於25_40_16也就是2916

下面請大家計算n個1的平方：

11的平方

111的平方

1111的平方

結果是121,12321,1234321，這個規律很明顯，當然我們也就得到了一個公式。

二元降次排序的平方展開公式

(x+y)的平方等於x的平方+2xy+y的平方

(x平方+xy+y平方)的平方等於x的四次方+2x三次方y+3x平方y平方+2y三次方x+y的四次方

總結如下

我想這個東西不常見但是很具有規律性，或許有人認為沒用，那我也說出來了，或許自娛自樂而已。

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