高等代數筆記之——多項式(2)

   上回我們講到一個比較重點的概念：多項式整除關係不隨數域的擴大而變化。

  今天我們開始新的內容！

第一個定義：最大公因式

最大公因式是各大高校考研真題經常涉及的知識點，包括用輾轉相除法計算最大公因式以及有關最大公因式的證明。因此在介紹完最大公因式的定義後，下面有關最大公因式的內容都將是重點。

                        

此引理為輾轉相除法的引入做出了鋪墊。

此引理說明了這樣一個問題：對於兩個多項式，「除式和被除式的最大公因式」與「除式和餘式的最大公因式」相同，也就是說，因為餘式的次數一定小於等於除式的次數，我們就可以通過一種「輾轉相除」的形式逐次「降次」，最後得到最大公因式。

接下來我們引入今天第一個重點：

定理說明：此定理是一種兩多項式的最大公因式的一種表示形式，考試題目類型多為：

（1）計算定理中的u(x)和v(x)，

（2）證明有關最大公因式的題目。

  該定理的證明過程也是計算u(x)和v(x)方法，更是接下來要介紹的輾轉相除法的計算使用方法。

接下來我們給出該定理詳細的證明過程：

此定理的證明邏輯過程如下：

（1）根據f(x),g(x)兩個多項式是否為0進行分類討論，

（2）由上述引理：對於兩個多項式，「除式和被除式的最大公因式」與「除式和餘式的最大公因式」相同，逐步得到f(x)和g(x)的最大公因式d(x)。

（3）從後往前逐步消去，最終得到d(x)的與f(x)和g(x)有關的表達式:

各大名校的考研真題中，多項式部分幾乎都會由涉及到輾轉相除法的計算題，而掌握此定理的證明方法也就掌握了輾轉相除法，

（tips：我們用(f(x),g(x))表示兩多項式首項為1的最大公因式。）

下面我們給出一個輾轉相除法的例題，幫助你理解和掌握輾轉相除法：

   

 總結：今天的主要內容就是輾轉相除法的原理與計算過程，在考研真題的多項式模塊中佔有很大的比重，因此掌握好今天的內容至關重要，希望小夥伴學習完可以認認真真的複習，多做幾道題目來鞏固輾轉相除法的計算過程。