x的n次方-1的因式分解及應用

2021-01-08 百家號

下面公式為初等數學中常用的2個

在初高中大部分老師對於第二個公式都是直接讓記住，但如果不經常使用，勉強記住不僅容易記錯而且很容易忘記，還是理解了再記憶更加容易。今天小編介紹的是x的n次方-1的通用分解因式和他的證明，以及公式在等比數列前n項和and某個高等數學等價無窮小的證明中的使用。

先上公式

那麼這個公式有什麼用呢？

1，求等比數列的前N項和

雖然在初等數學教科書中用了倍差法推出了前n項和公式，但是我們也可以用上面的公式求。將上面公式2邊同時除以x-1，然後再乘以等比數列的初項次，就可以得出等比數列的求和公式了。

2,證明某些高等數學中的等價無窮小

x->0指的是當x趨向於0的時候，題目中波浪號是指前一個式子是後一個的等價無窮小，要證明等價無窮小，需要證明2式子相除的極限為1，證明第一步反向利用了x的n次方-1的因式分解公式，只不過這裡將x+1的n次方根視為x，分子分母同時乘以了一個n項次和，分子順利只剩下x並與分母中的x約去，有了這個分解後面的就很簡單了。

相關焦點

  • 【初中數學】因式分解的九種方法
    三、因式分解   　　1.因式分解時，各項如果有公因式應先提公因式，再進一步分解。   　　2.因式分解，必須進行到每一個多項式因式不能再分解為止。   　　原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)   　　做到這一步不叫把多項式分解因式，因為它不符合因式分解的意義。但不難看出這兩項還有公因式(m+n)，因此還能繼續分解，所以：原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)×(a+b).
  • 多項式計算與因式分解
    未知變量可以是一個，也可以是多個，如果包含n個未知變量，那麼多項式就是n元的。知識的學習總是由簡到繁，多項式最簡單的就是一元的了，我們先看一元多項式。未知變量x自身相乘，就會出現x的平方，相乘(n-1)次，就是x的n次方。未知變量x在多項式中出現的最高次數就被稱為多項式的次數。
  • 2019初三數學因式分解法九大方式
    (三)因式分解 1.因式分解時，各項如果有公因式應先提公因式，再進一步分解。 2.因式分解，必須進行到每一個多項式因式不能再分解為止。 原式=(am +an)+(bm+ bn) =a(m+ n)+b(m +n) 做到這一步不叫把多項式分解因式，因為它不符合因式分解的意義.但不難看出這兩項還有公因式(m+n)，因此還能繼續分解，所以 原式=(am +an)+(bm+ bn) =a(m+ n)+b(m+ n) =(m +n)?(a +b).
  • 因式分解
    由於大於1的自然數k有無窮多個，故有無窮多個自然數a，使n4+a對一切自然數n總非素數　　2.待定係數法　　若兩多項式f(x)=g(x)，則它們同次的對應項係數一定相等，利用這條結論可將某些因式分解的問題轉化為解方程組的問題來解決.　　例3分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4.
  • 2018中考數學知識點:因式分解法九大方式
    (三)因式分解   　　1.因式分解時，各項如果有公因式應先提公因式，再進一步分解。   　　2.因式分解，必須進行到每一個多項式因式不能再分解為止。   　　原式=(am +an)+(bm+ bn)   　　=a(m+ n)+b(m +n)   　　做到這一步不叫把多項式分解因式，因為它不符合因式分解的意義.但不難看出這兩項還有公因式(m+n)，因此還能繼續分解，所以   　　原式=(am +an)+(bm+ bn)
  • 分解因式(x-1)^2-2(x-1)+1的結果是()A.(x-1)(x-2)
    題目分解因式（x-1）^2-2（x-1）+1的結果是（ ）A.（x-1）（x-2） B.x^2 C.（x+1）^2 D.（x-2）^2 普通學生思路：本題把（x-1）看做一個整體，應用完全平方公式分解因式。解：（x-1）^2-2（x-1）+1=（x-1-1）^2=（x-2）^2故選D.
  • 2021初中七年級代數知識點:因式分解法9大方式(2)
    原式=(am+an)+(bm+ bn) 　　=a(m+ n)+b(m+n) 　　做到這一步不叫把多項式分解因式，因為它不符合因式分解的意義.但不難看出這兩項還有公因式(m+n)，因此還能繼續分解，所以 　　原式=(am+an)+(bm+ bn) 　　=a(m+ n)+b(m+n) 　　=
  • 因式分解5,初級外掛——因式定理
    前面幾篇介紹了分組分解、十字交叉、換元、添項拆項、配方法這些因式分解中的常見方法。希望大家能熟練掌握並綜合運用。從這篇開始，我會介紹一些比較高級的技巧，首先是因式定理。 因式定理適用於高次多項式的因式分解，其內容是：一個多項式f(x)，當x=a時，f(a)=0（即讓x=a帶入多項式計算），那麼多項式f(x)必含有因式x-a，反過來，如果f(x)含有因式x-a，那麼必有f(a)=0。此時，a是方程f(x)=0的根。
  • 初中數學:因式分解及其常用方法、技巧和應用
    例1：分解因式：3a^3十6a^2一6a原式=3a（a^2十2a一2）二套：套公式①平方差公式：a^2一b^2=（a十b）（a一b）；②完全平方公式：a^2±2ab+b^2=（a±b）^2；③立方和公式：a^3十b^3=（a十b）（a^2一ab十b^2）；④立方差公式
  • 十二種因式分解方法,絕對乾貨!
    >▲應用公式法由於分解因式與整式乘法有著互逆的關係，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。如，和的平方、差的平方>要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)
  • 因式分解方法總匯,值得收藏
    二、方法和例題（一）提取公因式法（1）公式mn十dm=m（n十d）（2）例、分解因式①2αbC十6αmC一12anC②（x十y）^2+（x十y）m+（x十y）n解①原式=2aC（b十3m一6n）②原式=（x十y）（x十y十m十n）（二）分組分解法（1）公式ma十mb十na十nb
  • ☞☞☞十二種因式分解方法,絕對實用!
    >▲應用公式法由於分解因式與整式乘法有著互逆的關係，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。如，和的平方、差的平方>要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)
  • 初中數學:因式分解有哪些方法?十字相乘法因式分解4道例題全解
    因式分解方法步驟：①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式；②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止
  • 初中數學培優 七年級下 第九講 因式分解的應用 許多競賽題講解
    初中數學培優 七年級下 第九講 因式分解的應用 許多競賽題講解（word格式問題，看下面的圖片也可以）二、重點難點分析1. 因式分解的應用極其廣泛，因式分解的實質是把和或差化成積的一種代數變換。應用因式解解決數學問題或實際問題是一種常用的數學基本方法和運算技巧，對後續分式、一元二次方程等知識有很大幫助。
  • 2018初中數學公式之常用的因式分解公式
    下面是《2018初中數學公式之常用的因式分解公式》，僅供參考！ 　　待定係數法(因式分解)   　　待定係數法是數學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛，這裡介紹它在因式分解中的應用．   　　在因式分解時，一些多項式經過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些係數尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的係數．由於該多項式等於這幾個因式的乘積，根據多項式恆等的性質，兩邊對應項係數應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關於待定係數的方程(或方程組)，解出待定字母係數的值，這種因式分解的方法叫作待定係數法．
  • 七年級數學利用提公因式法分解因式中,小心「符號」的陷阱
    可見，符號在數學的應用影響廣泛，在計算中對符號的運用稍有不慎，粗心馬虎就會前功盡棄。在七年級數學因式分解中，符號轉換的運算是歷年中考中經常考察的一個熱點知識，也是易錯點。這裡的符號主要是「+」和「-」，「+」是用來表示正數或者加法的運算符號，比0大的數叫正數。「-」是用來表示負數或者減法的運算符號，負數指的是比0小的數。
  • 最全的因式分解方法:因式定理綜合除法分解因式
    9、因式定理、綜合除法分解因式 對於整係數一元多項式fx)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 由因式定理可先判斷它是否含有一次因式x-)其中p，q互質），p為首項係數an的約數，q為末項係數a0的約數 若f）=0,則一定會有x-）再用綜合除法，將多項式分解 例8分解因式x3-4x2+6x-4 解這是一個整係數一元多項式，因為4的正約數為1、2、4
  • 小達人教你如何用,十字交叉與因式定理,解決因式分解的難題
    因式分解的結果為：（3x+1）（x+2）這項操作被稱為十字交叉因式分解法。在我們熟悉這項操作之前可以藉助圖形來思考，不過，在熟悉之後仍有很多同學離不開圖形的幫助。這可不值得提倡哦。在因式分解6x2-x-12時，6有（6，1）和（2，3）兩種分解方法。
  • 初中數學培優 七年級下 第八講 因式分解(初中競賽難點之一)
    4.因式分解的一般步驟:(1)若多項式有公因式，先提取公因式；(2)若多項式沒有公因式。對於二項式，可以考慮應用平方差公式；對於三項式可以考慮應用完全平方公式或十字相乘法[x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]；(3)當多項式不能應用公式或者項數多於三項時,也就是既沒有公因式也不能用公式分解時，可以嘗試用分組分解法，項數較少時可通過拆項或添項後再分組。
  • 學好因式分解 你做題1000不如熟練這5個分解思維
    比如做完高級方法後，最後提取公因式不記得，套公式不認得，十字相乘套十字相乘不徹底，或對無中生有類的如4x的4次方+1還可以繼續分解想不到。還有一點就是怕展開多項式計算功底不夠，過於注重招式忽視內力。今天涵姐就把這五句口訣的精髓分享給大家，且例題，讓大家學練結合，做到融會貫通。