行星軌道為什麼是橢圓的?為什麼太陽只集中在一個焦點上?

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網友提問：為什麼行星軌道都是橢圓的？為什麼太陽只集中在一個焦點上，那麼另一個焦點又是什麼呢？

答：這個問題總是困擾著我。簡短回答一下：這個問題從數學上超綱了，尤其是在第一年的物理學和微積分範圍外。事實上太陽在一個焦點是個再正常不過的事兒，更常見的是，另一個焦點什麼也沒有。

僅憑直覺很難回答為什麼星軌是橢圓的。實際上我也沒找到一個數學推理可以回答這個問題。所以，我把推導過程留在答案區裡。

答案區：重力一般被寫為：

你可以引入矢量符號重寫為：

這裡上面的點表示時間導數。為了保證標準：

C為「整數常量」，可以是任何一個數字。

在極坐標系下，你可以用半徑（遠離或靠近太陽的速度）及角度（轉動的速度）來重新定義速度。

L是這個問題中行星的角動量，是一個常數。雖然看起來有點蠢，但是為了預測，在推理中我們最好用1/R來代替R.

P和e的選擇看起來有一點武斷，不過這些有些歷史意義。P為半通徑，可以說是用來描述軌道大小的。E為離心率，描述了軌道的橢圓程度，e=0意味著軌道為圓形，在0-1隻見為橢圓，<=1則意味著軌道未閉合（這種情況實際上不能稱之為「軌道」）。比如，地球軌道的離心率為0.01671123，哈雷彗星的離心率為0.967.

D僅描述了橢圓軌道遠端的指向，實際上與形狀無關。

所以僅有最後一個方程是定義了橢圓的，在這個系統中，（0，0）正好在一個圓心，一下即證據：

一個焦點在（0，0）點的橢圓可以被描述為：

F即中心至焦點的距離

這些合在一起，便能看出橢圓的形狀（本例中即為太陽在（0，0）點）。

圖片說明：一個小天體在太空中沿者橢圓路徑的軌道繞著另一個大天體（像是行星繞著太陽），而這個大天體坐落在橢圓焦點上。

相關知識-克卜勒定律

在天文學中，克卜勒定律是用於描述行星環繞太陽運動的定律。

行星軌道是橢圓的，第一個星球的焦點在F1\F2，第二個星球的焦點在F1\F3。太陽位於焦點F1。

陰影部分A1、A2有相同的表面積，對於行星1而言環繞A1和A2所需的時間相同。

行星A1和A2繞軌道一圈的時間為固定比例。

行星軌道是橢圓的，太陽位於其一個焦點上。

過太陽與行星的連線將橢圓分割成相等的兩部分，且兩部分的繞行時間相同。

繞行時間的平方與長半徑的立方成比例。

圖片說明：在此圖中，右上象限的是橢圓軌道的重力井，在質量中心的重力位能井顯示出位能，軌道速度的動能以紅色顯示。當軌道上天體的速度減少時動動也會減少，同時距離會遵循克卜勒定律增加。

大多數的行星軌道都接近於圓形，只有通過細心觀察縝密計算才能知道軌道其實是橢圓的。火星軌道經計算是橢圓的。從這一點出發，克卜勒推斷太陽系其他行星的軌道也都是橢圓的。

哥白尼的日心說已經解釋了為何行星速度不同，在此基礎上，克卜勒用橢圓替代圓，將研究推進了一步。

圖片說明：地心說（上圖）與日心說（下圖）二者模型之比較

牛頓於1687年提出了更精確的解釋，提出了運動定律及萬有引力定律。

橢圓軌道在天文學或天體力學是軌道離心率小於1的克卜勒軌道，包括特別的離心率為零的圓軌道。在嚴格的意義上，它是一個離心率大於0且小於1（因此不包括圓軌道）的克卜勒軌道。在更廣泛的意義上，它是一個包括負能量的克卜勒軌道，這包括軌道離心率等於1的徑向橢圓軌道（拋物線軌道）。

參考資料

1.WJ百科全書

2.天文學名詞

3. askamathematician- The Physicist

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