e^iπ+1=0:史上最完美的數學公式

18世紀東普魯士首府——哥尼斯堡，是當時名噪一時的寶地，不僅專門誕生偉大人物，如哲學家康德，還有網紅景點普雷格爾河坐鎮。

這條河橫貫其境，可把全城分為下圖3-1所示的四個區域：島區（A）、東區（B）、南區（C）和北區（D）。

 

圖3-1

其間還有七座別致的橋，橫跨普雷格爾河及其支流，將四個區域連接起來，引得遊客絡繹不絕。遊玩者都喜歡做這樣一個嘗試：如何不重複地走遍七橋，最後回到出發點。

然而，幾乎每個嘗試哥尼斯堡七橋問題的人，最後都精疲力竭，垂頭喪氣，他們發現不管怎麼繞都會重複。

本來獨眼巨人歐拉剛右眼失明，內心十分苦悶，但看到周圍的居民竟都為這個問題如此抓耳撓腮，覺得很有意思。因為就算不用腳走，照樣子畫一張地圖，把全部可能路線都嘗試一遍也能把人整得心力交瘁，畢竟各種可能線路加起來有種。

為解決這個問題，歐拉巧妙地把它化成了一個幾何問題，將四個區域縮成4個點，以 ABCD 四個字母分別代替4個區域，然後橋化為邊，得到了圖3-2。

 

圖3-2

再簡化些，就變成圖3-3。

圖3-3

這樣，難解的七橋問題瞬間搖身變為了孩子們最愛玩的一筆畫問題，如果能在紙上一筆畫完，又不重複的話，這個問題也就解決了。

整整一個下午，歐拉躲在屋子裡閉門不出，桌上滿是丟棄的紙團，複雜的線條像股雜繩。許久過後，沾滿鉛筆屑的手指終於離開了歐拉的臉頰，他迅速地再抽出一張白紙，寫下：對於一個可以「一筆畫」畫出的圖形，首先必須是連通的；其次，對於圖形中的某個點，如果不是起筆點或停筆點，那麼它若有一條弧線進筆，必有另一條弧線出筆，如圖3-4所示。也就是說，交匯點的弧線必定成雙成對，這樣的點必定是偶點。

圖3-4

而圖形中的奇點（經過此點的線的條數為奇數的頂點），只能作為起筆點或落筆點，在此基礎上，歐拉最終確立了著名的「一筆畫原理」，即一個圖形可以一筆畫的充分必要條件是：

1. 所有點都連通

2. 奇點的個數為0或2

顯然，從圖3-3中，我們可以看到奇點的個數為4，不符合條件2。因而，多少年來，人們費盡心思試圖尋找的經過七橋而不重複的路線，其實根本就不存在。

將七橋問題轉化為一筆畫問題，是一個把實際問題抽象成合適的「數學模型」的過程，這當中並不需要運用多麼深奧的理論，但想到這一點，卻是解決難題的關鍵。後來，我們將此種研究方法稱為「數學模型方法」，而這也是歐拉作為18世紀最偉大的數學家，異於常人之處。