導讀
近日，德國歌德大學的物理學家在超冷量子氣體的幫助下，對於拓撲絕緣體進行了建模，並演示了如何通過實驗方法檢測到邊緣態。
背景
2016年諾貝爾物理學獎授予了三位科學家：戴維·索利斯（David J.Thouless）、鄧肯·霍爾丹（F. Duncan M. Haldane）和麥可·科斯特利茨（J. Michael Kosterlitz），以表彰他們在拓撲相變和物質拓撲相方面的開創性工作。
什麼是「拓撲相變」？
這個問題太深奧，但是我們可以從「拓撲」和「相變」兩個方面分別去看。
拓撲拓撲學（topology），是研究「幾何圖形」或「空間」在連續改變形狀之後還能保持不變的一些性質的學科。它只考慮物體間的位置關係，而不考慮它們的形狀和大小。
「連續改變形狀」，就是允許幾何圖形產生伸縮和扭曲等變形，但不允許撕裂和粘合。因此，拓撲學又被形象地比喻為「橡皮膜上的幾何學」。比方說，我們在橡皮膜上畫一個圖形，然後任意地拉扯甚至扭曲，但不能撕裂和粘合。隨著橡皮膜拉動，橡皮膜上圖形的長度、曲直、面積等都將發生變化，但也有一些圖形的性質保持不變。這種在拓撲變換過程中保持不變的性質，稱為圖形的拓撲性質。
下圖所示：甜甜圈能變成咖啡杯形狀，小牛玩具也能變成球的形狀。也就是說，甜甜圈表面的拓撲與咖啡杯表面的拓撲一致，小牛玩具表面的拓撲與球表面的拓撲也一致。
（圖片來源：維基百科）
因此，如果一個閉合曲面能連續變換到另一個閉合曲面，我們就稱這兩個曲面是拓撲等價的（同一個拓撲相）。否則，我們認為它們是拓撲不等價的，需要「相變」才可以相互轉換。
相變日常生活中，我們最常見的「相」是氣態、液態和固態。此外，在一些非常特殊的條件下，比如極高的溫度或者極低的溫度條件下，我們還會見到許多更為奇異的狀態，例如等離子態、量子凝聚態等。
（圖片來源：維基百科）
（圖片來源：Johan Jarnestad/瑞典皇家科學院）
相變，是指物質在外界條件連續變化時，從一種「相」突然變成另一種「相」的過程，比如冰融化成水，水凝結成冰等。相應地，物質拓撲性質的變化，就稱為「拓撲相變」。然而，拓撲相變不同於「冰與水」的普通相變。在拓撲相變中，起主導作用的是平面材料中的小「漩渦」。在低溫條件下，它們緊密地配成一對。當溫度升高時，相變就發生了：兩個渦旋彼此分離，獨自在材料中「揚帆起航」。
（圖片來源：Johan Jarnestad/瑞典皇家科學院）
當載流子在磁場作用下的二維平面中運動時，因為受到磁場產生的洛倫茲力的作用，粒子的運動軌跡產生偏移並在材料兩側積累電荷，形成垂直於電流方向的電場，最終使載流子受到的洛侖茲力與電場斥力相平衡，這種現象被稱為「霍爾效應」。
1980年，克勞斯·馮·克利青（Klaus von Klitzing）研究發現，在低溫和強磁場的極端條件下，隨著磁場強度的增加，霍爾電導的值增加並不像經典物理學所預測的那樣是漸進的或線性的，而是呈階梯式上升的，也就是量子化的，即為e2/h的整數倍，這就是所謂的「量子霍爾效應」。這一發現也讓馮·克利青獲得了1985年的諾貝爾物理學獎。
1983年，索利斯意識到，這個現象也需要用拓撲學解釋。電導率需要用到所有這些電子的整體特性，這正是拓撲學的領域。就像拓撲學圖形中的「洞」只能是整數個，而電導率也只能以整數倍變化。
（圖片來源：Johan Jarnestad/瑞典皇家科學院）
「拓撲相變和物質拓撲相」方面的開創性工作，為材料科學的研究帶來了革命性的影響以及新的機遇。拓撲絕緣體便是一個很好的例子。
通常來說，根據導電性不同，材料可分為「導體」和「絕緣體」兩大類。更進一步說，根據電子態的拓撲性質不同，「導體」和「絕緣體」還可以再進行更細緻的劃分，「拓撲絕緣體」就是這樣劃分而來的。不同於普通絕緣體，拓撲絕緣體的內部是絕緣的，而邊界或表面卻是可以導電的。
在拓撲絕緣體內部，電子能帶結構與普通絕緣體相似，其費米能級位於導帶和價帶之間。可是，在拓撲絕緣體的表面卻存在一些特殊的量子態：受拓撲保護的邊緣態。這些量子態位於塊體能帶結構的帶隙之中，允許電子傳導。這些量子態可以用類似拓撲學中的虧格的整數表徵。以實的閉曲面為例，虧格就是曲面上洞眼的個數。
下圖為拓撲絕緣體的能帶示意圖。（圖片來源：維基百科）
這種邊緣態在保證一定對稱性（比如時間反演對稱性）的前提下穩定存在的，且自旋方向不同的導電電子的運動方向是相反的，所以信息可以通過電子自旋傳輸，而且不像通過電荷傳輸那樣會發熱。這一發現有望帶來低能耗的新一代自旋電子器件。
創新
然而，迄今為止，拓撲絕緣體的特性仍然未被完整理解。
近日，德國歌德大學的物理學家在超冷量子氣體的幫助下，對於拓撲絕緣體進行了建模。在最近一期的《物理評論快報（Physical Review Letters）》期刊上，他們演示了如何通過實驗方法檢測到邊緣態。
下圖所示：在光學晶體中的人造邊緣，其中填充著超冷量子氣體。這些氣體由「自旋向上」（紅）與「自旋向下」（綠）的粒子組成。沿著邊緣（也只有這樣），「自旋向上」的粒子只能流向左，而「自旋向下」的粒子只能流向右。
（圖片來源：Bernhard Irsigler）
技術
例如，在一個由拓撲絕緣體製成的「碟」中，電流沿著拓撲絕緣體的表面向著同一個方向流動。論文第一作者 Bernhard Irsigler 表示：「這使得量子粒子暢行無阻，因為向著其他方向流動的狀態不存在。」換句話說，在邊緣態中，電流暢通無阻。比如說，這種效應可以用於提升行動裝置（例如智慧型手機）的穩定性以及降低其能耗。此外，研究人員也在研究如何利用它構建更加高效的雷射器。
近年來，拓撲絕緣體也在超冷量子氣體中被發現，從而有助於我們更好地理解它的行為。當普通的氣體被冷卻至絕對零度之上的「百萬分之一或者十億分之一」度的時候，超冷量子氣體就會生成。這使得超冷量子氣體成為了宇宙中最冷的地方。如果超冷量子氣體也在由雷射製作的光學晶體中產生，那麼氣體原子會像在固態晶體中一樣排列。然而，不同於固體，許多參數都產生了變化，可用於研究人造的量子狀態。
論文合著者 Jun-Hui Zheng 解釋道：「我們想要稱之為量子模擬器，因為這種系統展示了許多在固體中才會發生的事情。採用光學晶體中的超冷量子氣體，我們可以理解拓撲絕緣體的基礎物理。」
然而，固體與量子氣體之間的顯著差異就是，雲狀的氣體並不具有「定義好的邊緣」。那麼，超冷氣體中的拓撲絕緣體是如何判定哪裡才是它的邊緣態呢？歌德大學理論物理研究所 Walter Hofstetter 教授研究小組的研究人員在他們的研究中回答了這一問題。他們在拓撲絕緣體與普通絕緣體之間建造了一個「人工屏障」。它代表了拓撲絕緣體的邊緣，導電的邊緣狀態沿著它形成。
Hofstetter 表示：「在實驗中，我們通過量子氣體顯微鏡測量到了的量子關聯，對於邊緣態進行了描述。哈佛大學、麻省理工學院、以及位於慕尼黑的普朗克量子光學研究所都進行過這種類型的測量。」 量子氣體顯微鏡是一種能在實驗中檢測到單個原子的儀器。
Hofstetter 補充道：「我們研究的重要意義在於，明確考慮到了量子氣體粒子之間的相互作用。這使得研究更加切合實際，但是也更加複雜。複雜計算可以通過超級計算機來進行。歐洲傑出的科學家們在DFG研究單元開展的『人造規範場和超冷原子中的相互作用的拓撲相』的相關研究，對於我們來說也特別重要。」
價值
這項研究中，科學家們更深入地觀測了拓撲絕緣體中的邊緣態，從而更進一步地理解了拓撲絕緣體的物理學本質，也為以後進一步研發拓撲絕緣體奠定了基礎。
關鍵字
量子物理、拓撲、自旋
參考資料
【1】https://aktuelles.uni-frankfurt.de/englisch/physics-understanding-insulators-with-conducting-edges/
【2】Bernhard Irsigler, Jun-Hui Zheng, Walter Hofstetter. Interacting Hofstadter Interface. Physical Review Letters, 2019; 122 (1) DOI: 10.1103/PhysRevLett.122.010406
【3】https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/popular-physicsprize2016.pdf