對稱破缺——凝聚態中的物理美

圖1：凝聚態大師朗道和安德森

撰文 | 張天蓉

責編 | 寧 茜

巴丁（John Bardeen，1908 – 1991）所獲的兩次諾獎都與凝聚態研究有關。凝聚態以量子理論為基礎，在量子場論建立之後，理論物理朝兩個不同的方向發展：粒子物理（particle physics）和凝聚態物理（condensed matter physics）。公眾的眼光大多數投向傳統的、以還原論思想為指導的高能粒子物理，以為那才是物理的正統方向。

然而實際上，當今的物理學家中，很大一部分是在做凝聚態物理的相關研究，包括理論和實驗兩個方面。凝聚態物理的理論部分，與粒子物理理論有許多相通之處。近百年來從固體到凝聚態的研究，在實用上促進了信息技術蓬勃發展，帶給人們一次又一次的驚喜，典型範例是電晶體和超導。凝聚態物理在理論上獨樹一幟：凝聚態研究遵循的層展論，對科學思想、科學哲學等方面作出了重大貢獻；凝聚態有關對稱破缺的思想，被用於粒子物理中獲取質量的希格斯機制。

朗道的相變理論

前蘇聯知名物理學家列夫·朗道（Lev Landau，1908-1968）是物理界的一位大師級人物，在理論物理多個領域中都有重大貢獻。在中國學術界的心目中，朗道和費曼一樣，是一位「學術卓著、特立獨行」的傳奇性人物。費曼因他的數本自傳式讀物而廣為人知，朗道則以其一系列大厚本的經典物理教材而享譽學界。有關朗道的故事，如此一篇文章是寫不完道不盡的，請見參考資料[1]。

圖2：年輕的朗道與玻爾、海森堡、泡利、伽莫夫等在一起

朗道的費米液體（Fermi Liquid）及相變（Phase Transition）等理論，奠定了整個凝聚態物理的基礎。費米液體理論，讓我們可以在處理多粒子的凝聚態物理中繼續使用單粒子圖像。此外，朗道提出的相變理論與對稱性破缺理論相關，讓我們能夠用序參量來描述凝聚態系統的宏觀態，使用對稱性來給不同物相進行分類。

一般的物質有固、液、氣三態，這是初中物理告訴我們的知識。後來，現代物理的研究結果，將「物質三態」的概念擴大——有了等離子態、波色-愛因斯坦凝聚態、液晶態等等，見圖3。再後來，又擴展細分到物質的許多種不同的「相」。物質相之間的互相轉換被稱之為「相變」。

圖3：相變圖（包括液晶和等離子體）

固、液、氣三相的變化，相應地伴隨著體積的變化和熱量的釋放（或吸收）。這一類轉換叫做「一級相變」，它們的數學意義是說：在相變發生點，熱力學中的參量（比如化學勢）不變化，而它的一階導數（體積等）有變化。後來，實驗中不斷觀察到的物質相及相變的數目多了，一級相變的概念便被擴展到「二級」、「三級」……N級相變，分別用熱力學量的N階導數來區分。

這些N級相變，被統稱為「連續相變」。朗道對連續相變建立數學模型，提供了一個統一的描述[2]。他認為連續相變的特徵是物質的有序程度的改變，可以用序參數的變化來描述。或者更進一步，可以看成是物質結構對稱性的改變。

根據物質的對稱性及其破缺的方式來研究相和相變的方法被稱為「朗道範式」。也可以說由此方式才催生了凝聚態物理[3]。物理學家們越來越認識到，分別單獨地研究固體或液體，都遠遠滿足不了實際情況的需要。特別是摻和了低溫物理之後，固體物理的研究轉向了對大量粒子構成的各種體系的研究。這些系統中的粒子具有很強的相互作用，在各種物理條件下，不僅僅表現為固態、液態、液晶態、等離子態，還有超流態、超導態、波色子凝聚態、費米子凝聚態……對這些千姿百態以及它們互相轉換的研究，便構成了凝聚態物理。

安德森挑戰還原論

研究凝聚態物理並做出開創性奠基的另一位大師，是美國物理學家菲利普·安德森（Philip Anderson，1923-2020）。

今年春天，安德森以97歲高齡不幸辭世，他在對稱性破缺、高溫超導等諸多領域都做出了重大貢獻。當他在新澤西的貝爾實驗室工作時，首先提出凝聚態中的局域態、擴展態的概念和理論，為此他和另一位美國物理學家約翰·范扶累克（John Hasbrouck van Vleck，1899-1980）及英國物理學家內維爾·莫特（Sir Nevill Francis Mott，1905-1996），分享了1977年的諾貝爾物理學獎。

除了對物理本身的傑出貢獻之外，1972年，安德森在《科學》雜誌上發表的著名的「More is different」（《多則異》）的論文[4]，針對一切歸於最簡單粒子的還原論（Reductionism），提出各種不同物質層次形成不同分支的層展論（Emergence），被認為是凝聚態物理的獨立宣言，帶給了整個科學界另一個認識這個世界的視角，表達了安德森對人類傳統科學方法的挑戰和超越。

傳統的科研方法以還原論為主，古希臘的科學就是從「追本溯源」，即「還原」開始的。所謂還原論，就是認為複雜系統可以化解為各部分的組合，並且，複雜體系的行為可以用其部分的行為來加以理解和描述。例如，物質由分子組成，分子由原子組成，原子又由更深一層的基本粒子組成，依次遞推，構成了物質結構中越來越小的層次。還原論的方法便是逐層級地回答問題，期待深一層的結構能解釋上一個層次所表現的性質。如此下去，科學演化的路線似乎歸結為一條還原的路線，最後追溯到一個「終極問題」。

然而，安德森提出不同的觀點。他認為「多則異」，還原並不能重構宇宙，部分行為不能完全解釋整體行為。高層次物質的規律不一定是低層次規律的應用，並不是只有底層基本規律是基本的，每個層次皆要求全新的基本概念的構架，都有那一個層次的基礎原理。也就是說，安德森教給我們不同於還原論的另一種認識這個世界的視角，即「層展論」（或稱整體論）的觀點。層展論既不屬於還原論，也不反對還原論，而是與還原論互補，構成更為完整的科學方法。

安德森在他的《多則異》的文章中，以凝聚態中的對稱破缺為例，說明層展論。

相變——對稱和對稱破缺

對稱性的概念不難理解，在自然界及人工的建築、藝術等領域，幾何對稱現象隨處可見。固體中的晶格是一種空間狀態重複的幾何對稱結構。如果將整個晶體移動一個晶格常數a，結果仍然是原來的系統。換言之，晶格結構具有在空間平移a的變換下系統保持不變的對稱性。所以，對稱的意思就是系統在某種變換下保持狀態不變。除了空間平移變換之外，還有空間旋轉、空間反演等等其它種類的變換。除了在三維空間的各種變換之外，還有對於時間的平移或反演變換，以及其它抽象的或內稟性質的變換。各種變換對應於各種不同的對稱性。

物理學中有一個諾特定理（Noether's theorem），由德國女數學家埃米·諾特（Emmy Noether，1882-1935）發現，它將物理中的守恆定律與對稱性聯繫在一起[5]。例如，能量守恆定律對應時間對稱性；動量守恆對應空間平移對稱；角動量守恆對應旋轉對稱性等等。我們在此不予詳述，可見參考資料[6]。

大千世界不僅有對稱，也有不對稱。觀察我們周圍的世界：人的左臉並不完全等同於右臉，大多數人的心臟長在左邊，大多數的DNA分子是右旋的，地球並不是一個完全規則的球形……正是因為對稱中有了這些不對稱的元素，對稱與不對稱的和諧交匯，才創造了我們豐富多彩的世界。

即便是對稱的情況，也有各種等級的高低之分。比如說，一個正三角形，和一個等腰三角形比較，正三角形應該更為對稱一些；球面比橢球面具有更多的對稱性。此外，物體狀態的對稱性也會變化，從低到高，或者從高到低。

圖4：相變和對稱破缺

朗道將凝聚態物理中的相變與物質結構中對稱性的變化聯繫在一起。他把從高對稱到低的對稱過程叫做「對稱破缺」。相應的，反過來的相變則意味著「對稱恢復」。然而，如何判斷對稱性的「高低」呢？特別需要提醒的是：有時候我們會將「對稱性」與「有序性」等同起來，但事實上這兩個概念的「高低」程度正好相反。越有序的結構，對稱性反而越低。以下舉個簡單例子來說明。

圖4上方所示的是「固態→液晶→液態」過程中物質分子結構的變化。這三者的對稱性，到底孰高孰低呢？

固態中水分子有次序地排列起來，形成整齊漂亮的格子或圖案（晶格）；在液晶中，三維晶格被破環了，成為一維晶體。之後，隨著溫度繼續升高，一維的有序結構也被破壞而成為無序的液體：液態中的水分子做著隨機而無規則的布朗運動（Brownian Motion）——沒有固定的方向，沒有固定的位置，處於完全無序的狀態，在任何方向、任何點看起來都是一樣的。而這正是我們所謂的對稱性最「高」的狀態，也就是說，液態的對稱性很高，卻無序。液晶和固態，相較液態而言，有序程度逐漸增加，對稱性卻逐步降低。

用數學的語言來描述的話，液態時，如果將空間坐標作任何平移變換，系統的性質都不會改變，表明對空間的高度對稱。而當水結成冰之後，系統只在沿著某些空間方向，平移晶格常數a的整數倍的時候，才能保持不變。所以，物質從液態到固態，對稱性降低，也就是破缺了，從連續的平移對稱性減少成了離散的平移對稱性。或叫做：固態破缺了液態的連續平移對稱性，即晶體是液體的任意平移對稱性破缺的產物。相比於液體，晶體的粒子密度出現了空間上的周期調製，因而更加有序，而從無到有的周期調製的變化，便可以表徵物質從液體結晶為固體時的相變。

對稱破缺（Symmetry Breaking）分為兩大類：明顯對稱性破缺（Explicit Symmetry Breaking）和自發對稱性破缺（Spontaneous Symmetry Breaking）。第一類「對稱破缺」的原因是自然規律決定的，是因為某些物理系統本身就不具有某些物理規律對應的對稱性，這類對稱破缺的著名例子是李政道與楊振寧發現的「弱相互作用中宇稱不守恆」（CP violation）。

第二類「自發對稱破缺」是物理學家更感興趣的。這種情況下，物理系統仍然遵循某種對稱性，但物理系統更低的能量態（包括真空態）卻不具有此種對稱性。這種對稱破缺的著名例子包括超導物理中的BCS理論，以及基本粒子標準模型中的希格斯機制（Higgs Mechanism）。

自發對稱破缺

將「自發對稱破缺」再表達得更清楚一些，就是說物理規律具有某種對稱性，但是它的方程的某一個解，也就是物理系統實際上所處的某個狀態，卻不具有這種對稱性。這樣，我們看到的世界中一切現實情況，都是「自發對稱破缺」後的某種特別情形。因此，它只能反映物理規律的一小部分側面。圖5中舉了幾個日常生活中的例子來說明對稱性的「破缺」。

圖5：自然界的明顯對稱破缺和自發對稱破缺

圖5a中所示是一個在山坡上的石頭，山坡造成重力勢能的不對稱性，使得石頭往右邊滾動，這是一種明顯對稱性破缺。在圖5b的情況，一支鉛筆豎立在桌子上，它所受的力是四面八方都對稱的，它朝任何一個方向倒下的機率都相等。但是，鉛筆最終只會倒向一個方向，這就破壞了它原有的旋轉對稱性。這種破壞不是由於物理規律或周圍環境的不對稱造成的，而是鉛筆自身不穩定因素誘發的，所以叫自發對稱破缺。圖5c的水滴結晶成某個雪花圖案的過程也屬於自發對稱性破缺。

日裔美國物理學家南部陽一郎（Yoichiro Nambu，1921-2015）首先將「對稱破缺」這一概念從凝聚態物理引進到粒子物理學中[7]。南部為此和另外兩位發現正反物質對稱破缺起源的日本物理學家小林誠（Kobayashi Makoto，1944-）和益川敏英（Toshihide Maskawa，1940-）分享了2008年的諾貝爾物理學獎。

凝聚態物理和粒子物理，初看似乎是風馬牛不相干的兩個領域，在研究時所涉及的能量級別上也相差幾百億倍，但它們在本質上卻有一個共同之處：研究的都是維數巨大的系統，粒子物理基於量子場論，凝聚態物理研究的是連續多粒子體系。量子系統的維數需要趨於無窮大，是自發對稱破缺發生的必要條件。與相變相關的「對稱破缺」思想，應用於粒子物理，解決了標準模型中的質量問題。

參考文獻：

[1].張天蓉科學網博文：《矽火燎原》-21-個性奇特的朗道

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221&do=blog&id=724191

[2].於祿，郝柏林。《相變和臨界現象》，科學出版社，1992

[3].L.D. Landau，On the theory of phase transitions，1937

Published in: Zh.Eksp.Teor.Fiz. 7 (1937) 19-32, Phys.Z.Sowjetunion 11 (1937) 26, Ukr.J.Phys. 53 (2008) 25

[4].Anderson, More is different, Science Vol. 177, pp. 393-396（1972）

[5].Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). The Noether theorems:Invariance and conservation laws in the twentieth century. Sources and Studiesin the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer-Verlag.

[6].張天蓉科學網博文：統一路-8-對稱和守恆

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221&do=blog&id=882465

[7].Nambu, Y.; Jona-Lasinio, G. (April 1961). "DynamicalModel of Elementary Particles Based on an Analogy with Superconductivity.I". Physical Review 122: 345–358.

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來源：賽先生

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