我們的目標是什麼
在二維中，旋度的正式定義為線積分的以下極限:
這是複雜的，但是當我們一步一步地構建它時，它是有意義的。
流體形式下的I旋轉
假設你有一個流動的流體，它的速度是由向量場F(x,y)給出的
比如我們在二維旋度的文章中看到的。
如果你還不知道旋度，但你學過向量場的線積分，你會測量一個區域的流體旋轉嗎??
舉一個相對簡單的例子，考慮向量場
這是典型的逆時針旋轉向量場。
我們如何使流體旋轉的概念數學化(在了解旋度之前)?一種方法是想像繞著某個區域的周長走一圈，就像一個以原點為中心的單位圓，然後測量液體在每個點上是與你一起流動還是與你相反。
更一般地說，如果流體傾向於在一個區域內逆時針流動，那麼流體在該區域周圍的速度向量場的線積分應該是正的(當它是逆時針方向時)。
你也可以想像一個更複雜的向量場，在這個場中，流體在逆時針繞著圓走的時候和你在一起，但是在其他地方和你相反。
當氣流與你在一起時，F.dr值為正，當氣流與你相反時，F值為負。在某種程度上，積分∮F.dr就像一個投票系統，計算出這些不同的方向相互抵消的程度，以及哪一個總體上是贏家。
讓區域的大小改變所以，在用數學方法表達了流體繞著一個區域旋轉的概念之後，你可能想要抓住流體在一點旋轉的更難以捉摸的概念。你會怎麼做呢?
你可以從考慮那個點周圍越來越小的區域開始，比如半徑越來越小的圓，然後看看這些區域周圍的流體是什麼樣的。
回到我們的向量場F=-yi+xj ,與其只看單位圓，不如讓Cr代表一個以原點為中心，半徑為R的圓
計算F關於這個圓的線積分作為R的函數
這個圓仍然是逆時針的。
單位面積平均旋轉
最後這個問題的答案暗示了一些有趣的事情。一個區域的旋轉似乎與該區域的面積成正比。當然，您只展示了以原點為中心的圓，而不是所有可能的區域，但它仍然具有啟發性。這可能會給你一個想法。
關鍵思想:如果你用∮F.dr來測量一個區域的流體流動，然後除以這個區域的面積，它可以給出一些單位面積的平均旋轉的概念。
「單位面積平均旋轉」的概念可能有點奇怪，但如果你回想一下旋度的解釋，這就是我們想要旋度表示的意思。旋度是用來測量流體在一個大區域內如何旋轉的，而不是考慮流體在一個大區域內的旋轉。
概念檢查:上例中的向量欄位有點特殊，因為圍繞原點的圓的「單位面積旋轉」對於所有圓來說都是相同的值。這個值是多少?
定義二維旋度最後兩個問題表明「單位面積內的平均旋轉」在以原點為中心的圓中與函數的旋度相同，至少在我們的具體例子中是這樣。事實證明，這一點適用範圍更廣
事實上，我們定義向量場F在點(x,y)處的旋度的方法就是，在點(x,y)周圍越來越小的區域裡，單位面積上的平均旋轉的極限
具體來說，這是定義二維旋度的公式:
F為二維向量場。
(x,y)是平面上某個特定的點。
A(x,y)表示點(x,y)周圍的某個區域，例如，以點(x,y)為圓心的圓
∣ A(x,y)∣表示A(x,y)的面積
lim∣ A(x,y)∣→0表示我們考慮A(x,y)趨於0時的極限，這意味著這個區域在(x,y)附近縮小
C是A(x,y)的邊界，逆時針方向。
∮是圍繞C的線積分
這個公式對於計算來說是不實際的，但是一旦你把它和流體旋轉聯繫起來，你就會非常清楚。這個定義和計算二維旋度的公式是一樣的，這是一個很好的事實。
保守向量場的另一個特徵F(x,y)是一個保守向量場，所有閉環上的線積分都是0
表達式∮F.dr總是0，所以二維旋度的定義是這樣的
因此，保守向量場的旋度總是0。
他給出了一個重要的事實:如果一個向量場是保守的，它就是無旋的，這意味著旋度處處為零。
特別地，由於梯度場總是保守的，梯度的旋度總是零。這是一個事實，你可以通過計算公式得到。但是，我認為用旋度的定義和為什麼梯度場是保守的直覺來理解它會更有幫助。
反過來呢?如果一個向量場的旋度處處為零，這是否意味著它一定是保守的
確實如此，但不幸的是，你必須等到學習格林公式之後才能知道原因。
如果一個向量場表示流體流動，你可以通過對該向量場沿該區域邊界的線積分來量化「該區域內的流體旋轉」。
總結：
為了從一個區域內的流體旋轉概念過渡到一個點周圍的流體流動(這是旋度所度量的)，我們引入了一個區域內「單位面積內的平均旋轉」的概念。然後考慮當你的區域縮小到某一點時，這個值會趨近於什麼。
在公式中，我們得到二維旋度的定義如下:
旋度和閉環線積分之間的這種關係意味著無旋場和保守場是一回事。