從牛頓、三體到混沌:科學認知如何從簡單到複雜

出品：《科學大家》

撰文：夏志宏 南方科技大學講座教授、數學系主任，美國西北大學終身教授

現代科學是從牛頓開始的，他是一位非常了不起的科學家。眾所周知，他發現了萬有引力定律還有牛頓力學，還是微積分發現人之一。從一個人對科學的貢獻來講，很少有人可以與牛頓相提並論，一生能如果做上述一件事，就能被稱為非常偉大的科學家了，牛頓卻做了三件。

關於牛頓，有一個家喻戶曉的傳說：牛頓在睡午覺的時候，一個蘋果掉在他的頭上，由此激發了他的靈感，從而發現了萬有引力定律，這也是整個現代科學的起源。我的母校南京大學曾得到英國劍橋大學裡這顆蘋果樹的種子，大家如果想看到這棵砸過牛頓的蘋果樹的後代，可以到南京大學的新校園。

這幅漫畫上有一段很有意思的笑話，大意是：我想下面更難的事，是怎麼申請科研經費，總不能因為蘋果掉在我頭上就可以得到資助了。

或許大家覺得牛頓發現萬有引力是個偶然的幸運，但事實上並非如此，萬有引力定律的發現經歷了前人很多年的觀測。

類似的例子還有克卜勒發現行星運動三大定律，（編者註：橢圓定律：所有行星繞太陽的軌道都是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上；面積定律：行星和太陽的連線在相等的時間間隔內掃過相等的面積；調和定律：所有行星繞太陽一周的恆星時間的平方與它們軌道長半軸的立方成比例。）克卜勒三大定律的發現同樣也不是偶然，不是靈機一現。

歷史上第一個被尿憋死的科學家：第谷·布拉赫

克卜勒發現了行星運動三大定律之前，有一位丹麥的數學家第谷·布拉赫，他花了很多時間去觀察行星的運動，那時觀測精度比較差，他又是用肉眼來觀察行星的運動，因此花費了很多精力。

丹麥皇帝甚至資助他在島上修建天文臺，花了很多錢來支持他的研究，有意思的是，當時他記錄的紙都是一個專門的造紙廠提供的。

第谷和皇帝關係很好，但是皇帝死後，繼任皇帝不喜歡他，他就跑到布拉格去，那裡的皇帝也非常支持他進行科學研究，第谷得以經常出沒皇宮。有一次他在皇宮喝了很多酒，回家後就死掉了，大家一直猜測他是什麼原因死亡，有一種猜測是被別人下毒，另一種猜測是喝多了被尿憋死，在他死後的四百多年，也就是2001年，有人決定把他的屍體挖出來，來確定他的死因，結果發現果然不是毒死的，而是被尿憋死的，第谷成了歷史上第一個被尿憋死的科學家。

又過了十年，關於第谷又有一個很大的爭議。第谷性格怪異，在二十幾歲的時候跟堂兄爭吵誰是更偉大的數學家，最後兩人決定決鬥，結果第谷的鼻子在決鬥中被割掉，大家很長時間不知道他的鼻子是金子做的還是銀子做的。2010年，大家決定再把他的棺材挖出來研究一下，結果發現他的鼻子是銅做的。

第谷對天文學的觀測奠定了克卜勒的基礎、奠定了萬有引力定律的開始。作為他的學生，克卜勒觀測了火星運動。如果當初沒有觀測火星的話，大家會認為行星的軌道是圓形的，所以牛頓才終於發現了萬有引力，而並不僅僅是因為一個蘋果掉在他的頭上。

用經典方法無法解決三體問題

當牛頓發現萬有引力定律後，第一個問題是想解決多體問題，既有萬有引力，又有牛頓力學，再加上微積分，這樣的天文學問題變成了數學問題。

如何根據這些物理定律來找到行星運動的軌道，精確地推算軌道。太陽和一個行星在一起就是二體問題，我們已經知道二體問題的軌道是穩定性軌道，而太陽與兩個行星放在一起就叫三體問題，天體越多就變成越複雜的數學問題。三體問題花了很長時間，最終人們發現三體問題是不可解的。

太陽系遠遠超過三體，有太陽，有行星，行星還有衛星，還有其他很多小天體。整個太陽系是一個龐大的體系，遠遠超過三體，是更複雜的多體問題。既然三體問題都沒法解，對於多體問題，用經典的方法去解決太陽系的運動，顯然也是不太可能的。

這裡需要再提一下牛頓，他同樣也是位「怪」人，上半輩子做了非常偉大的科學工作，但他是非常虔誠的基督徒，認為太陽系是不穩定的。人們會問太陽系既然不穩定，那人類怎麼可能生存？牛頓的解釋是，上帝每隔一段時間就來推一下行星或者球，讓地球回到穩定的軌道上不會偏離太遠。

牛頓一直試圖用數學的方法來證明上帝的存在，用數學公式去解開行星的軌道，現在看來非常荒唐的，所以有人開玩笑的說，牛頓被蘋果砸了後，大腦其實不太好了。

關於行星的穩定性，每一位偉大的科學家都會提出自己的見解，這些見解有時候介於數學分析，有時候介於猜測。

《三體》小說為什麼非常有趣？

大家都知道數學家喜歡寫一些猜測，比如經典的科幻作品《三體》，大家為什麼覺得這本小說非常有趣呢？

我剛才提到了，因為三體問題無法用經典方法把解寫出來。三體是一個混沌系統，最重要的特徵是不可預測。三體的運動，假如時間不夠長，是不可能預測未來會如何變化。《三體》小說就是利用這種特徵，描述了一個世界有三個太陽，三個太陽的運轉處於非常不可預測的狀態，可能三個太陽突然出現，使星球上的所有生命熱死，很可能三個太陽一段時間都不出現，讓星球很冷，把所有生命凍死，這就是《三體》小說裡的科學原理。

對人類而言，我們沒必要擔心太陽系是否穩定，科學家計算過，幾百萬年，甚至上億年內都沒有問題，即使不穩定，也要幾億年後才會出現的事了。

人類為什麼要關心太陽系的穩定性呢？我想說科學的發展並不是從實用性的角度出發的。現代科學從牛頓力學而來，牛頓力學又從天體力學而來，而天體力學剛開始是滿足人類的好奇心，但是科學給人類的生活帶來革命性的發展與技術不一樣，技術是競技性的，科學是革命性的，現代的生活，所有一切是由於科學的發展，故而用功利性的眼光去看科學研究是錯誤的。

數學家有一個非常深刻的理論，叫KAM理論（編者註：KAM理論是經典力學裡討論近可積保守系統：哈密頓系統，可逆系統，保體積映射的動力學性態的著名的理論。K，A，M分別代表公認的於上個世紀五六十年代創立該理論的三位數學家，他們是：俄羅斯數學家Kolmogorov和Arnold，以及德國數學家Moser），有很多數學家為此做出了很大的貢獻。人們對力學系統所關心的問題之一，是運動過程的長期行為和它最終會達到的狀態。動力系統的長時間行為可能有多種形式：平衡或不動點、周期振動、準周期運動、混沌，它們都是定常態。

牛頓力學的確定論觀點曾因解決太陽系行星運行問題的成功而在很長時期佔統治地位，但是，力學中的三體問題和重剛體繞固定點的運動問題成為困擾人們近一個世紀的難題，KAM定理通過對弱不可積系統運動穩定性條件的證明，說明了三維以上非線性系統的運動軌道出現混沌現象具有普遍性。

穩定性的對立面就是混沌，認知的進步使我們認識到世界越來越多元，越來越發現穩定性的可能性不大，大部分情況是動態的穩定，或者是混沌的系統。

龐加萊：第一個描述混沌的科學家

上圖是挪威的皇帝奧斯卡二世，這是唯一的一位數學家皇帝，本科讀了數學，一直喜歡科學和藝術，定期在皇宮組織科學講堂。他在位時，創立了一本數學雜誌：《Acta Mathematica》，現在仍是數學領域的四大雜誌之一。

1887年，有一位數學家Mitag Lefler建議他設立一個科學大獎：誰能解決三體問題，就把這個獎頒給他。雖然現在我們知道三體問題不可解，但當時大家並不知道。

Mitag Lefler何許人也？我給大家講一個故事，諾貝爾獎為什麼沒有數學家呢？傳說是因為諾貝爾的情人被一位數學家拐騙走了，那位數學家就是Mitag Lefler。

1895年，皇帝請巴黎大學的數學家潘勒維到皇宮做講座，當時潘勒維提出了一個猜測，現在叫潘勒維猜測，該猜測經過不到一百年，最後在我的博士論文裡面用混沌問題得出了解。

大家可能要問為什麼會花這麼長時間呢？因為我們對科學的理解是一步一步發展的，龐加萊跟潘勒維是同期的數學家，其實我證明的猜測是龐加萊和潘勒維共同探討的猜測，龐加萊寫了關於如何解三體問題的一篇文章，雖然並沒有解出來，但是獲獎委員會最後還是決定給了他一個大獎。但有意思的是結果他的學生發現文章裡面有錯誤，龐加萊又重新寫了一篇文章，在這篇文章裡，混沌的概念第一次在數學裡被正確描述。

混沌最基本的概念：幾何級的增長速度特別快

下面這個故事相信很多人都聽過，一位數學家發明了西洋棋，皇帝非常高興問他想要什麼樣的獎賞，數學家說很簡單，你在棋盤裡面第一格放1顆麥子，第二格放2顆麥子，第三格放4顆麥子，第四格放8顆麥子，再下面一格放16顆麥子，用這種方式把棋盤放滿就夠了。皇帝認為數學家的要求不是很高，只不過要了幾顆麥子而已，當即答應了。實際總共需要多少顆麥子呢？棋盤一共是64格，第一格是1，最後一格是2的63次方，一共是2的64次方減1，大約是140萬億升的麥子。由此可見，幾何級的增長速度特別快，這也是混沌裡最基本的一個概念。

我們看上圖這個盒子，一個盒子裡面放入氣體分子，分子在盒子裡運動速度非常快，假如有一個小的誤差，第一秒就加倍，第二秒又加倍，第三秒又加倍，60秒後，2的60次方，原先再小的誤差都被剛才的這種方式加倍，由此可見，分子運動帶來的後果是非常大的，而混沌的量有多少，取決於多長時間加倍一次。

在空氣動力學中，空氣移動比較快，可能零點幾秒鐘就加倍。太陽系運動相對較慢，誤差加倍時間可能需要幾十年、幾百年，但有一個共同的性質存在，誤差在一次一次的加倍！時間拉長後，你沒法知道它原先的狀態，因為一次次加倍帶來的後果是將來不可預測，這就是將來不可預測原理。

氣象系統是最典型的混沌系統。大家可能都遇到過，準備周末出去玩，一看氣象預報是晴天，到周末卻開始下大雨，大家可能都會指責氣象臺預報的不準，事實上氣象是一個非常混沌的系統，基本沒有辦法長時間預測。本來廣州應該晴空萬裡，但有一隻蝴蝶在美國芝加哥揮了揮翅膀，它對空氣的影響可能一秒鐘以後就會加倍，兩個星期以後就會影響著廣州的氣候。

這就是蝴蝶效應，也是為什麼說氣象系統是典型的混沌系統，假如要想精確預告天氣，你必須知道芝加哥的每一隻蝴蝶在兩個星期之前幹了什麼，但有很多比蝴蝶更大的影響因素，比如汽車、飛機、人，想預告廣州兩個星期後的氣候，就必須知道在地球另外一邊發生的所有現象，這幾乎是不可能的，所以短期氣象預告可以的，但長期只能從概率上去預告。

混沌究竟是好還是壞？

大家都知道混沌非常地糟糕，那是不是就代表著不好？我講一個代表混沌系統好的例子。現在中國、美國、印度等國家，大家都想進行太空探測，上月球、上火星，所以要發射很多衛星探測器。

1991年4月，日本發射了HiTen的月球探測器，上天后才發現燃料不夠，大家可能覺得這種問題不應該出現，這是因為發射過程有很多不定因素，放太多的燃料，重量就會增加，多放一斤燃料就要少放一斤科學儀器，而燃料剛好夠，但是遇到特殊情況就可能出現燃料不足的情況。美國加州理工大學JPL實驗室，派了一位數學家叫Belbruno，協助日本人重新設計軌道。

解決方案是利用有限的燃料把探測器送到混沌區域，混沌區域的將來不定，可能會出現在任何地方，到達有利地點就讓它過去，不利的地點就稍微花一些燃料推動一下，1991年10月份，科學家用這種方式，最後成功地把探測器送到了月球軌道。

某一天Belbruno給我打電話，說讀了我的一篇文章，他在找混沌區域時，花了一個月的時間，如果先讀了我的那篇關於混沌的文章，可能不用一個月就可以很快找到相應的區域，我聽後非常高興，沒想到自己發表論文居然會有所應用。

本來以為這種事情日本發生了一次，以後就不太可能再發生了。誰知7年以後，1998年美國Hughe公司的一個探測器也遇到了同樣的問題，發射後發現燃料不夠，這時他們又找道Belbruno，很快，Belbruno幫他們重新設計了一條新的軌道，讓探測器又成功抵達了原先的軌道。（註：文字信息未經夏志宏審校，圖片來源於夏志宏演講PPT）

在GMIC會場，新浪科技就數學的發展、本科生數學教育如何培養、交叉學科研究等問題專訪了夏志宏教授。

新浪科技：您認為數學在中國科學中處於什麼樣的地位？近期四部委發布《關於加強數學科學研究工作方案》的文件，您是怎麼看待這個方案的？

夏志宏：我注意到這個消息，這是個非常大的事，也是非常好的事。

中國對基礎科學非常關注，但對數學的投入還是少了些，數學是所有學科的基礎，尤其數學對提高大眾的社會素質非常重要，它包含著分析能力、邏輯推理能力、簡單的抽象思維能力，對公民素質的評價非常重要。

我經常舉好多簡單的例子，經過數學推理邏輯思維培訓的人有很多方面的優勢，對分析能力、以後的發展都非常有用。數學教育的一個誤解是希望培養專業的數學家，其實數學教育不僅僅是培養數學家，這只是小小的一部分，數學素質的培養是對整個民族素質，不僅是理工科的，對文科都是非常重要的。

國家現在開始重視數學教育，作為一個數學家我覺得非常高興，這是一個非常大的機遇，也是一個很大的挑戰。

挑戰是什麼呢？國家人才的培養應該是多層次的，鼓勵做研究本來是好事，但數學教育不僅僅是研究，有些學校沒有足夠的研究水平和能力，但也在拼命追求寫文章，做一些毫無意義的研究工作，而且以論文作為一個指標，這樣對於整個數學的發展是很不利的。

另外一個挑戰，國家會投入更大的財力物力去支持數學研究，我希望看到的是更多支持年輕的、非常活躍的一些數學家，把資源充分地給他們，鼓勵他們研究。

資助的方式也應該有很多不同的層次，除了政府還有民間，政府有不同的機構，資助的方式也不一樣，可以多元化一起來做。

新浪科技：現在很多前沿研究都屬於交叉的學科，因此產生一種說法，認為數學是學好其他學科的基礎，您是怎麼看待這個說法？

夏志宏：數學研究本身非常重要，但數學教育啟發學生的好奇心，對於任何學科都有幫助，它作為所有學科的基礎，尤其邏輯推理能力、分析應用能力以及量化分析能力、抽象思維能力，這些都是一些基礎素質，比方說你想做好物理、工程，哪怕做社會科學，都需要這些簡單的技能。所以提高數學研究，提高數學老師本身的數學培養，這樣可以提高學生基本素質。

談公民素質的時候我一直想強調公民的數學素質，一個社會的進步依賴於所有的公民有比較好的各方面素質，但數學素質往往可能是被忽略的。

新浪科技：不管是數學，一種新的研究成果出來，民眾更感興趣的是這個研究成果有什麼用，以後能應用到什麼地方，面對科學功利化，您怎麼看？您又是怎麼看待應用數學研究和基礎數學研究之間關係？

夏志宏：應用研究和基礎研究沒法人為地分開，有些數學研究剛開始是沒有任何應用，也看不出任何的應用，比方說現代科學的起源，是從牛頓開始的，你可以說牛頓仰望星空去看行星的運動，是一件很不著邊際的事，但就是牛頓跟科學家們，對一些大家覺得可能覺得毫無實用價值的科學研究，帶來了現代科學的發展，而現代科學對人類的文明、生活帶來的影響是巨大的，現代科學都是從無用開始的，到現在才變成現代生活完全不可或缺的部分。

還有，數論可能大家覺得是一個毫無用處的學科，為什麼關心數數，為什麼要關注幾個數字之間的規律，但是沒有數論就沒有現代的編碼學，就沒有現在的網際網路，現在網絡所有的交流、基本的保密加密方法都是從數論中來的，沒有數論就沒有辦法在網上做任何交易，因為沒有辦法使網上的交易能保密，這是數學非常妙的地方。

新浪科技：這種美妙的事情是不是可以認為是數學裡潛在的美學價值，普通人可能學數學，看到一堆公式覺得很枯燥，作為一個數學家您是怎麼看待這種美學價值？

夏志宏：這種美學價值不是生來俱有的，一方面美是一開始就有，這是慢慢對數學的研究、對數學進一步了解以後會看到，比方說對稱性，比方說非常美妙的剪輯方法來描述整個世界，比方說愛因斯坦的場方程就是非常美妙的數學方程，這種美真正要你進入後慢慢培養，跟現代藝術也有類似的地方，要沉浸進去，要有充分的了解，是後天培養出來的。

新浪科技：學好數學有什麼秘訣嗎？如果要成為一名數學家，需要數學方面有天分，還是說通過後天的努力也可以達到？

夏志宏：數學有好多方面，而每個人的技能也是不一樣的，不要認為某一方面不行可能數學就不行，數學面非常廣，如果代數、抽象的公式不行，但是你可能幾何很好，或者空間概念很好，我相信大部分人都可以找到所能激發他興趣的某個方向的。

抽象思維是需要慢慢培養的，很多人數學學不好是沒有適應抽象思維的方式，沒有進入的足夠順利，我想大家其實都有簡單抽象思維的能力，人要抓住一個事情的本質，需要把它抽象出來，需要把它簡單化，這樣才能真正地看透這些事情。

新浪科技：您在美國和中國的大學都任過教，不知道您對中國和美國大學的培養方式有什麼不同的看法？

夏志宏：美國的培養方式更注重的是學生的興趣，中國的培養方式是注重技巧和基本技能，我們國家對學生培養的過程，是讓學生花很多時間去演算，而美國學校的教育更多是啟發學生，所以在考試的時候美國學生絕對考不過中國學生。

但美國學生假如想做數學，他是真的對數學感興趣，即使告訴他將來會非常辛苦，他仍然去做。中國有時雖然你也感興趣做數學，但是更多的情況下，一個更好的機會你可能就去做其他東西了。

所以大家都在問為什麼開始考試的時候都很厲害，做研究的時候反而不是那麼特殊，當然中國也有很多非常優秀的中國科學家，但是相比我們整體的中學教育和考試的水平，這個數字相對少一些。

新浪科技：2019年7月20日是阿波羅工程登月50周年，前段時間中國也宣布火星車已建好，印度也發射了月船2號探測器，世界各國掀起了新一輪的外太空探索熱潮，您對天體方面的研究也比較多，您覺得遙遠的天體研究對於目前的外太空探索有哪些幫助或指導意義？

夏志宏：一個人對外太空或天文的興趣是一種求知慾，這種興趣是人類智慧的一個特徵，對未知事件的探索，正是因為這些科學使人的生活更豐富，科學探索從物質上也許沒有用，但對人的心理是非常有用的。我們知道一些好像不實用的知識，但這些知識滿足了我們的求知慾。所以科學永遠是滿足求知慾，對未知事物的探索，無論有無用，對科學家來講這也是一種感受，這並不亞於物質享受，未必比一頓美食要差。

從另外的角度，因為這種探索有時候給我們一些驚喜，突然發現有很多用處，現代科學的發展也證明了這一點，我們對世界的探索給我們帶來了很多有用的東西，也許現在登月計劃可能沒有多少物質上實用的東西，但對整個人類的精神上的滿足不容忽視，它是一個非常重要的事件。

科學的發展從開始無用，突然發現有很多有用的東西，然後花更多的精力去做有用的研究，例如又再次返回太空去進行火星計劃、月球計劃，這是一個好的回歸科學，人類再給自己一個挑戰，看我們能做些什麼，這也許是沒有用的，但也許又會給將來科學發展新的推動。

人類作為共同體，大家接受這種挑戰，而且各個國家，不僅是中國，美國、印度，都在主動地接受挑戰，這對於科學發展來講是一個非常好的事情，也是一個非常好的機遇。

新浪科技：看到您出席過很多類似於GMIC這樣的學界和商業界間的交流大會，您覺得什麼原因吸引到您？您覺得科學家在產業界和學界之間扮演著哪種角色？發揮什麼樣的作用？

夏志宏：科學家跟企業家在一起參加活動，這是一個非常好的現象，現在企業家們對科學關心得比較多，企業家談的都是非常基礎的數學，中國企業家們非常關心中國科學發展，也對基礎科學感興趣，企業家畢竟是中國新興的一個群體，這個群體對科學能做出貢獻，在美國很多私立大學主要的經濟來源是捐贈，比方說哈佛大學他們有300多億美元的基金是完全捐贈的，我所在的西北大學大概有100多億的捐贈基金，這些基金就是來支撐學校，在美國私立學校的發展主要是依賴於這些捐贈資金。

我國的私立大學西湖大學，也接受社會捐贈，用全民的力量來辦一個研究型的大學，我希望西湖大學能發展起來，有更多的企業家關注、去捐贈促進大學的發展。