天才何謂，嘔心乃已——大數學家愛森斯坦小傳 | 賢說八道

他是第一個用矩陣記號的人，他19歲時的短暫訪問嚇得哈密頓放下手裡所有的活計專心撿起三元數研究，終於在四個月後發明了四元數，他是高斯眼裡與阿基米德、牛頓並列的三個劃時代數學家之一。他24歲時出版的論文集由高斯作序，那時他橢圓函數論的課堂裡有後來的數學大神黎曼，他去世時83歲的亞歷山大·馮·洪堡為他扶棺下葬哀痛不已。他就是普魯士數學家愛森斯坦，享年29歲。

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）

2020年4月27日，筆者再讀哈密頓傳記，書中提及1843年夏19歲的愛森斯坦訪問哈密頓 (Sir William Rowan Hamilton。對，就是哈密頓量，Hamiltonian，裡的那個哈密頓)，嚇得哈密頓趕緊拾起幾次放下的關於三元數的研究，終於在10月16日發明了四元數。讀到此處，筆者是不由得會心一笑，能把哈密頓驚嚇到的，自然不是平凡人物。愛森斯坦這個名字我自然是知道的。2014年夏天，筆者注意到用高斯整數和愛森斯坦整數可以分別表示正方格子和三角格子，這可方便證明這兩種格子的縮放對稱性是否為無窮多的問題【參見曹則賢《一念非凡》p.199】，這是我第一次接觸到Eisenstein這個名字。愛森斯坦整數是這樣的整數，z=a+bω，其中a, b是整數，ω=e^2πi/3，這個形式的二元數在二維複平面裡的圖像就是三角格子，學固體物理的不可不知。既然再次見到了這個數學家的名字 (其實，Morris Kline的《古今數學思想史》裡也是提到過的)，我於是決定關切一下他的生平，沒想到愛森斯坦竟然享年只有29歲。看到這個數據，筆者感到萬分痛惜。天妒英才，在詩人和數學家身上真是屢有應驗啊，伽羅華享年僅21歲，阿貝爾享年僅27歲。細觀愛森斯坦短暫而又富有成就的一生，筆者唏噓不已，遂決定撰此短文，揚天才英名，以申敬仰之情。

愛森斯坦 (Ferdinand Gotthold Max Eisenstein, 1823 –1852)，普魯士時期柏林人。愛森斯坦自幼就展現出數學與音樂方面的天分，中學教的那些數學遠遠不能滿足他的胃口，15歲時愛森斯坦即用歐拉和拉格朗日的著作學習微積分【感慨：學任何東西，都要儘可能採用大家的著述。岌岌無名者的書本，怎可拿來自汙耳目！】。1840年起，中學生愛森斯坦就去柏林大學跟隨歐姆 (Martin Ohm, 1792-1872，歐姆定律的那個歐姆是Georg Ohm)、狄裡希利 (Peter Gustav Lejeune Dirichlet , 1805-1859) 等人學數學。狄裡希利是大神級數學家，1846年黎曼也被高斯勸到柏林大學跟隨狄裡希利等人學數學。

1843年夏，19歲的愛森斯坦到訪愛爾蘭都柏林，去到哈密頓工作的天文臺拜會哈密頓，一為找教職（注意，他還未入大學呃！)，二來和哈密頓聊聊他關於三重存在 【triplet，哈密頓想參照複數那樣的二元數/代數偶素的形式構造的數學對象。Triplet不方便就直接翻譯為三元數，因為它不光指三元數，此外它和trinity, triad, triadic treatment等宗教和形上學的「三」概念有關】的研究。

關於要構造三重存在，具體包括三元數或者描述三維空間矢量的代數元素等，哈密頓是1830年在他25歲時認識到複數的表達式 x+iy 不太恰當【有什麼不恰當呢？你看 (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d) 中任一側中間的那個加法符號，其與前後的兩個加法符號意義就不一樣！】的時候，深入思考而後將之當作代數偶素 (x, y) 處理，那時候就想起了要構造triplet。這些工作直到1843年夏幾起幾落，一直未能成功，哈密頓本人倒也不太著急。

然而，愛森斯坦這位普魯士19歲的大學前小青年的來訪讓哈密頓頓時警覺起來，如果這件事情再不做出來，估計會被這位年輕的柏林大學前小青年佔得先機。一個可能是在同愛森斯坦討論的時候，他們談到了乘法的交換律—放棄乘法交換律可能是實現目標的關鍵，注意，三維空間的轉動就是非交換的！據哈密頓的自述以及哈密頓的傳記記載，愛森斯坦走後哈密頓把全部身心都放到了構造triplet上，以至於每天早晨他大兒子都要問他 「爸爸，你弄會了三元數的乘法和加法了嗎？」 1843年10月16日，前後斷斷續續花費了13年功夫的哈密頓終於發明了四元數 (quaternion) 。三元數的研究一直沒有進展，那是因為根本不存在三元數的除法代數。加減乘除對筆者來說實在太難了，就此打住！哈密頓成功發明四元數五天後，1843年10月21日，愛森斯坦進入柏林大學讀書。

愛森斯坦的一大容易被忽略的成就是他可能是第一個引入矩陣概念/記號 (matrix notation) 的人。歷史上，矩陣的發明一般歸功於Arthur Cayley，而且認為在1858年以前是沒有矩陣概念的。然而，愛森斯坦1844的論文也許更早地包含有矩陣的思想。在這篇「Allgemeine Untersuchungen über die Formen dritten Grades （關於三次形式的一般研究）」，這篇文章裡引入了matrix notation。這裡的革命性思想是，矩陣可以作為代數元素進行運算，且其乘法可以有不可交換性！矩陣運算可以但不必然具有不可交換性，是矩陣在量子力學中起作用的數學保證。此是後話。

圖1. 愛森斯坦畫像

愛森斯坦1843年與哈密頓告別時，得到了哈密頓贈送的自己寫的關於阿貝爾的五次方程不可解的證明的長文，這更加刺激了這位大學前小青年研究數學的熱情。愛森斯坦從英倫回來就通過了中學畢業考試，並於1844年1月在進入大學沒倆月就提交了論兩變量立方形式的論文（估計和哈密頓討論與此有關）。在這大學的頭一年裡，愛森斯坦發表了23篇論文，提出了兩個數學問題，包括橢圓函數以及數論裡的二律背反【註：是對quadratic reciprocity的亂翻譯，其字面意思是兩個整數的關於另一個整數平方的某種互反關係】，並提出了三律背反(cubic reciprocity) 和四律背反 (quartic reciprocity)。1847年，愛森斯坦在從入大學算起才三年多的時間就拿到了私俸講師位置【普魯士職稱制度。獲得博士學位的人可以申請作Habilitation，即獨立工作一段時間，考評合格後有Habil. Dr.的頭銜和私俸講師的職稱，可以授課，可以等別處的教授位置空缺】，他講授橢圓函數的班裡有個學生叫黎曼。1851年，28歲的愛森斯坦被選入哥廷恩科學院，同年被選入柏林科學院，這時候離他到大學上一年級才僅僅過了8年。

愛森斯坦的文集，筆者剛下載，還未來得及閱讀，但無疑他的工作都是第一流的。愛森斯坦和高斯交好，其身後的文集就由高斯作序【這篇序是筆者讀的高斯的第一篇文字。筆者可是號稱學過電磁學的啊，唉！】，在這篇序裡，作為對比高斯提到的一個人是歐拉。關於愛森斯坦，高斯曾云：「es habe nur drei epochebildende Mathematiker gegeben: Archimed, Newton, Eisenstein (歷史上劃時代的數學家只有三位：阿基米德、牛頓和愛森斯坦)。」在另一場合，在高斯1846年4月14日致洪堡的信中，高斯誇獎愛森斯坦的天分是「welche die Natur in jedem Jahrhundert nur wenigen erteilt (大自然一百年只賦予幾個人的那種)」。這大概是對一個數學家的最高評價了，而且是出自當時被稱為數學第一人 (Princeps mathematicum) 的高斯之口，足見愛森斯坦天分之高。當然天才愛森斯坦也知道天高地厚，也知道尊重真正的大學問家。在一封致M. A. Stern的信中，愛森斯坦請求Stern代為問候他在哥廷恩的熟人，「但是不要代我問候高斯；對於真神，理應禱祝與敬仰才是。」

悲劇的是，愛森斯坦身體先天不足，小時即罹患腦膜炎，成年後也時有病痛。大學時期的愛森斯坦生活貧困，靠高斯和洪堡給他爭取到的獎學金生活。1852年愛森斯坦死於肺結核，享年僅僅29歲，83歲的亞歷山大·馮·洪堡為他扶棺下葬。正是，恨血千年土中碧，大抵天才不壽長。大底天意如此，非人力所能改變的。

我們普通人能做的，就是敬仰天才的同時，多少勻一點他們為我們從愚昧中盜來的知識聖火，來驅趕自己腳下的這一片漆黑如墨。

參考文獻

[1] Gotthold Eisenstein, Mathematische Abhandlungen. Besonders aus dem Gebiete der höheren Arithmetik und der elliptischen Funktione (數學研究——特別是關於高等算術和橢圓函數領域的)， Reimer (1847).

[2] Thomas L. Hankins, Sir William Rowan Hamilton, The John Hopkins University Press (1980).

[3] Gotthold Eisenstein, Mathematische Werke (數學著作)，Chelsea Publishing (1975).