20世紀80年代以來，問題解決已成為國際數學教育的一種潮流。由於它的研究與開發不僅關係到如何提高學生的科學文化素質、思想品德素質和教學質量問題，而且也與中小學數學教學內容、課程設置、教材教法、教學模式等各項改革密切相關，是一個領域廣闊的研究陣地，所以受到國內外許多研究機構、專家、學者及廣大教師的普遍關注。
對於什麼是問題解決，也有一些不同的觀點和看法。1988年發表的美國《21世紀的數學基礎》認為，問題解決是把前面學到的知識用到新的和不熟悉的情境中的過程，而學習數學的主要目的在於問題解決。最近20年來，世界上幾乎所有的國家都把提高學生的問題解決能力作為數學教學的主要目的之一。英國1982年的Cockcroft 報告認為問題解決是那種把數學用之於各種情況的能力，並針對當時英國教育界的情況，呼籲教師要把「問題解決」的活動形式看作教或學的類型，看作課程論的重要組成部分而不應當將其看成課程附加的東西。不論是教學過程，還是教學目的，也不論是教學方法，還是教學內容，作為國際數學教育的核心和數學教育改革的一種新趨勢，數學問題解決已成為當前數學教育研究的重要課題。
一、數學問題
對於什麼是數學問題，雖然目前尚無統一看法，但大體說來，它有以下特點：一是非常規性；二是重視情境應用，給出一種情境，一種實際需求，以克服一種現實困難為標誌；三是探究性。[1]從歷史角度來看，正是問題的提出、探究和解決，推動了數學科學的不斷發展。從某種意義上來說，數學發展的歷史，就是數學問題的提出和解決的歷史。
（一）數學問題的形成、來源及其在數學歷史進程中的重要作用
數學是研究客觀世界的數量關係和空間形式的科學，正如恩格斯所說：「純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關係，所以是非常現實的材料。」當人們與客觀世界產生接觸，從數量關係或空間形式的角度反映出認識與客觀世界的矛盾時，就形成了問題。以數學為內容，或者雖不以數學為內容，但必須運用數學概念、理論或方法才能解決的問題稱為數學問題。希爾伯特在1900年巴黎國際數學家代表大會上以「數學問題」為題發表演講時說：「只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力；而問題缺乏則預示著獨立發展的衰亡或中止。正如人類的每項事業都追求著確定的目標一樣，數學研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決，研究者鍛鍊其鋼鐵意志，發現新方法和新觀點，達到更為廣闊和自由的境界。」
由於數學問題包含著有關數學的疑問因素和未知方面，所以，在數學的學習和研究中，對已有的數學概念或結論產生疑問，或者對數學的未知領域進行探索時，都會提出一些不同問題。但是，教學中所要解決的並不是那些尚未解決的數學問題，而是前人已有的數學知識的再發現。只有提出問題，讓學生明了產生問題的情境，才能引起學生有目的的思考。正是由於學生把特定的數學問題確定為自己努力攻克的方向，才能使思維活動以一定的方法、在一定的範圍內進行，才能激發學生的創造熱情，不斷衝擊頭腦中舊有的認知結構，不斷構建新的認知結構。
數學問題來源於人類的生產、生活實踐，來源於人們了解自然、認識自然的科技活動。古代巴比倫人在觀測天文、丈量土地和進行貿易中形成了位值觀念和六十進位數系，並發現了大量數表、計算方法以及包括解一元二次方程在內的許多數學問題。早在公元前5世紀，古希臘人就已經形成後來被稱為幾何三大作圖問題的倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。成書於公元1世紀前後的《九章算術》，集古代數學問題之大成，記載了我國古代勞動人民在生產、生活和社會活動中形成的各種數學問題246個。《九章算術》是我國古代傳統數學中具有最深遠影響的一部著作，它反映出我國古代數學是怎樣從實際生活中分析出數量關係，建立數學模型，又怎樣從研究具體的數學問題入手，通過抽象與歸納而得到解決問題的數學方法的。
縱觀數學的發展歷史，可以看到數學問題在數學的歷史進程中的重要作用。它既是數學發現的起點，又是數學發現的路標；它既有數學發展的探索和導向作用，又可以為數學理論的形成積累必要的資料；它既可以導致數學的發現和理論的創新，又可以激發人們的創造和進取精神。
（二）數學問題的類型及其數學教育價值
由數學問題的形成和來源可以看到，數學問題種類繁多，但用於「數學問題解決」教學的問題大致有以下三種，它們具有不同的教育價值和功能。
1.可以構建數學模型的非常規的實際問題。21世紀是信息化的時代，是現代科技迅速發展的知識經濟時代。隨著數學和科學技術的飛速發展以及電子計算機和網絡技術的廣泛使用，科學技術數學化的進程日益加速。任何科學技術要實現數學化，都必須首先把研究對象用數學語言和方法表述為具有一定結構的數學體系，即建立有關研究對象的數學模型，這是科學技術數學化的關鍵。數學模型可以有效地描述自然現象和社會現象。數學問題要能夠給學生提供嘗試建立數學模型的機會，讓學生根據觀察和實驗的結果，嘗試運用數學思想以及歸納、類比的方法得出猜想，然後再進行證明。將生活、生產等社會活動中發現的實際問題抽取出來，通過構建數學模型，化實際問題為數學問題，然後應用數學思想或方法來解決問題，這是人們認識世界的重要途徑。非常規的問題往往不是純數學化的問題模式，而是一種情境，一種實際需求，只是為了克服實際碰到的困難。因此，要培養適應知識經濟社會需要的高素質、創造型人才，就要進行數學建模的訓練。培養學生數學建模的能力，是學好數學、用好數學的重要保障，也是基礎教育不可或缺的任務之一。「義務教育階段的數學課程，其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展。它不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型並進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。」[2](1)
2.探究性問題。通過一定的探索、研究去深入了解和認識數學對象的性質，發現數學規律和真理的問題叫做探究性問題。這裡，對於對象之間的數量關係、圖形性質及其變化規律，數學公式、法則、命題、定理等的探索和發現，雖然只是對前人工作的一種重複和再發現，但知識形成、發展過程的意義則被學習者重新建構。「數學學習過程充滿著觀察、實驗、模擬、推斷等探索性和挑戰性活動。教師要改變以例題、示範、講解為主的教學方式，引導學生投入到探索與交流的學習活動之中。」[2](65)數學命題的發現就是一個探索的過程。例如，在學習了三角形內角和定理後，教師可以讓學生通過觀察和實驗去探索四邊形、五邊形，六邊形等多邊形的內角和問題，然後通過歸納得到多邊形內角和定理。通過探究，不僅可以培養學生的數學思維能力，科學探索精神，而且可以使學生在數學學習活動中獲得成功的體驗，從而建立自信心，這對於培養學生形成完整的獨立人格具有重要的作用。
3.開放性問題。《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》在第三學段教材編寫建議中寫道：教材可以「提供一些開放性（在問題的條件、結論、解題策略或應用等方面具有一定的開放程度）的問題，使學生在探索的過程中進一步理解所學的知識」。[2](93)開放性問題旨在培養學生思維的靈活性、發散性，因而也有利於培養學生的創新精神、創新意識。例如，在△ABC 中，三邊a、b、c成等差數列，由此可得哪些結果？這是一個結論開放的問題，由三邊成等差數列，聯繫三角形的有關定理、公式如正弦定理、餘弦定理、射影定理、面積公式以及其他三角、幾何定理公式，可得到許多結果，諸如sin A +sin C =2sin B ，等等。[1](197)通過對這個問題的探討，不僅複習鞏固了所學知識，將多學科的許多不同思想方法都聯繫到了一起，而且充分表現了思維的多向性、靈活性和創造性。
(責任編輯：汪春)