20年全國Ⅱ卷理科數學大題難倒一批人,知道這些後,原來這樣簡單

012020年高考二卷理科大題再現

[全國Ⅱ理2020·21]已知函數f(x)=(sinx)^2·sin2x。

⑴討論f(x)在區間(0,π)的單調性；

⑵證明：|f(x)|≤3√3/8；

⑶設n∈N+，證明：(sinx)^2·(sin2x)^2·(sin4x)^2·…·(sin2^n·x)^2≤(3/4)^n。

圖一

這道題第三問 主要考察的是什麼？

其實該題的第三問只要考察的就是我們的觀察能力和構建能力——有沒有發現的眼睛，有沒有將知識靈活運用的本領。

如果我沒能觀察到該題解題的線索，只需要知道：給出的大題中的前兩問往往是第三問的解題關鍵。

即前兩問是第三問的解題步驟之一。

下面就講解題的過程中，詳細的說明該題第三問和前兩問之間的聯繫是什麼？遇到這樣的題時又該如何構建？題中又需要我們知道哪些知識點。

02第一問解答

第一問要求的是該函數的在區間(0,π)上f(x)的單調性。

目的：研究函數必須有的過程。只有根據函數的單調性，才能易得出函數的最值。

作用：為證明第二問做出了鋪墊。

藉助導數得出函數f(x)的單調性：

函數f(x)的一次導數為

f＇(x)=2sinxcosxsin2x+2cos2x(sinx)^2

=2sinx(cosxsin2x+cos2xsinx)

=2sinxsin3x

當x∈(0,π/3)時，sinx>0，sin3x>0，此時一次導數f＇(x)>0，此時函數f(x)是單調遞增函數；

當x∈(π/3,2π/3)時，sinx>0，sin3x<0，此時一次導數f＇(x)<0，此時函數f(x)是單調遞減函數；

當x∈(2π/3,π)時，sinx>0，sin3x>0，此時一次導數f＇(x)>0，此時函數f(x)是單調遞增函數。

綜上所述，函數f(x)在區間(0,π/3),(2π/3,π)單調遞增，在區間(π/3,2π/3)單調遞減。

03第二問解答

第二問需要證明|f(x)|≤3√3/8.

目的：得出f(x)的範圍，且求出f(x)的最大值，為第三問解答做好鋪墊。

藉助函數的極值得出f(x)絕對值的最大值。

只要滿足函數f(x)的絕對值的最大值小於等於3√3/8即可。

由第一問可知函數f(x)在區間(0,π)的單調性，即當x=π/3時，函數f(x)取極大值，當x=2π/3時，函數f(x)取極小值。

要想求出函數f(x)絕對值在區間(0,π)上的最大值，則需要求出函數f(x)的端點處的函數值以及極大值和極小值。

具體做法：

函數端點函數值：f(0)=0=f(π)；

函數f(x)極大值：f(π/3)=(sinπ/3)^2·sin2π/3=3√3/8；

函數f(x)極小值：f(2π/3)=(sin2π/3)^2·sin4π/3=－3√3/8。

則f(x)絕對值在區間(0,π)的最大值為3√3/8.

因為f(x)=(sinx)^2·sin2x，且f(x+π)=[sin(x+π)]^2·sin2(x+π)=(sinx)^2·sin2x，則f(x)=f(x+π)，所以π恰好是函數f(x)的一個周期。

所以函數f(x)的絕對值在R上的最大值為3√3/8，即|f(x)|≤3√3/8。

注意：這裡對於任何的x都滿足|f(x)|≤3√3/8，即|f(2x)|≤3√3/8、|f(3x)|≤3√3/8、|f(4x)|≤3√3/8等等。

04第三問解答

第三問需要證明的是(sinx)^2·(sin2x)^2·(sin4x)^2·…·(sin2^n·x)^2≤(3/4)^n.

這和給出的函數f(x)的解析式很像，但又不是。

如果以函數f(x)不斷的傳遞應該是

f(x)·f(2x)·f(3x)·f(4x)·…·f(2^(n－1)·x)

=[(sinx)^2·sin2x]·[(sin2x)^2·sin4x]·[(sin4x)^2·sin8x]·…·〔[sin2^(n－1)·x]^2·sin(2^n·x)〕

=(sinx)^2·(sin2x)^3·(sin4x)^3·(sin8x)^3·…·[sin(2^(n－1)·x)]^3·sin(2^n·x)

這個等式是和我們要求證的不等式的左邊是不同的，但是它們就有聯繫。

即sinx·f(x)·f(2x)·f(3x)·f(4x)·…·f(2^(n－1)·x)·[sin(2^n·x)]^2

=[(sinx)^2·(sin2x)^2·(sin4x)^2·…·(sin2^n·x)^2]^(3/2)。

則有(sinx)^2·(sin2x)^2·(sin4x)^2·…·(sin2^n·x)^2=〔sinx·f(x)·f(2x)·f(3x)·f(4x)·…·f(2^(n－1)·x)·[sin(2^n·x)]^2〕^(2/3)。

而〔sinx·f(x)·f(2x)·f(3x)·f(4x)·…·f(2^(n－1)·x)·[sin(2^n·x)]^2〕^(2/3)

≤[f(x)·f(2x)·f(3x)·f(4x)·…·f(2^(n－1)·x)]^(2/3)——當sinx=[sin(2^n·x)]^2=1時等號成立。

註：sinx和[sin(2^n·x)]^2有相同的周期，所以可以同時取最大值1.

由第二問可知，|f(x)|≤3√3/8，則|f(x)·f(2x)·f(3x)·f(4x)·…·f(2^(n－1)·x)|≤(3√3/8)^n，則[f(x)·f(2x)·f(3x)·f(4x)·…·f(2^(n－1)·x)]^(2/3)

≤[(3√3/8)^n]^(2/3)

=(3√3/8)^(2n/3)

=(3/4)^n。

圖二

綜上所述，則有(sinx)^2·(sin2x)^2·(sin4x)^2·…·(sin2^n·x)^2≤(3/4)^n。

05總結

這道題三個小題是相互關聯的，該題設提出第一問和第二問，實際就是該告訴我們第三問該求出的已知。

要想從何第二問中結果得出第三問，離不來一個數的平方向該數的三次方的轉化，以及構建的思想。

第三問如果脫離了給出的解析式f(x)該題是很難解決的，給出第一問和第二問給出的內容，也簡化了該題的難度。

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