從質因數入手,理解公因數和公倍數的本質關係

 從質因數入手，理解公因數和公倍數的本質關係   

已知a與b、a與c、b與c的最小公倍數分別是60、90和36，

問：滿足此條件的a、b、c，有多少組？

分析與解：

a與b、a與c、b與c的最小公倍數分別是60、90和36，可以表示為

[a,b]=60     [a,c]=90     [b,c]=36

首先，因為[a,b]=60，[a,c]=90，[b,c]=36，所以不難知道[a,b,c]=180，

即a、b、c的最小公倍數是180。

又因為[b,c]=36，所以a還有一個獨有質因數180÷36=5，即a是5的倍數。

同理：

因為[a,c]=90，所以b還有一個獨有質因數180÷90=2，即b是2的倍數。

因為[a,b]=60，所以c還有一個獨有質因數180÷60=3，即c是3的倍數。

其次，因為[a,b]=60，[a,c]=90，所以a既是60的因數，又是90的因數，就是60和90的公因數。

60和90的最大公因數表示為（60,90）=30，

 60和90的公因數就是30的因數1、2、3、5、6、10、15、30，

a同時是30的因數，其中5的倍數有5、10、15、30，

所以a有四種可能：5、10、15、30。

同理：

       因為[a,b]=60，[b,c]=36，所以b既是60的因數，又是36的因數，就是60和36的公因數。

60和36的最大公因數表示為（60,36）=12，

60和36的公因數就是12的因數1、2、3、4、6、12，

b同時是12的因數，其中2的倍數有2、4、6、12，

所以b有四種可能：2、4、6、12。

因為[a,c]=90，[b,c]=36，所以c既是90的因數，又是36的因數，就是90和36的公因數。

90和36的最大公因數表示為（90,36）=18，

90和36的公因數就是18的因數1、2、3、6、9、18，

c同時是18的因數，其中3的倍數有3、6、9、18，

所以c有四種可能：3、6、9、18。

    接著，把a、b、c可能的值列表如下：

                  a        b     c

                  5       2      3

                  10       4     6

                  15       6     9

                  30       12    18

    最後，把上述a、b、c可能的值進行搭配驗證，

符合[a,b]=60，[a,c]=90，[b,c]=36條件的有以下9組：

             a   b  c

                             5、12、18

                            10、12、 9

                            10、12 、18

 15、 4、18

15、12、18

30、4、9

30、4、18

30、12、9

30、12、18