最大公因數與最小公倍數

    最大公因數與最小公倍數有如下性質：

   兩個自然數分別除以它們的最大公因數，所得的商互質。

   兩個數的最大公因數乘以它們各自獨有的因數，就是這兩個數的最小公倍數。 

    兩個數的最大公因數與它們的最小公倍數的乘積，等於這兩個數的乘積。

例題1

    A是一個數，它分別與 及相乘，得到兩個互質的自然數。求A的值。

     A是整數， 還是分數？

     如果A是整數，必須是26與39的公倍數，且必定是偶數。那麼這個數與兩個分數相乘的積也一定是偶數，那這兩個積就不會互質，這與題中的「兩個乘積互質」相矛盾。

    因此，A不是整數，而應該是分數。

    這個分數的分子應是26與39的最小公倍數，因為這樣才能保證它與那兩個分數分別相乘的積是自然數；這個數的分母應該是那兩個分數分子26×5+3=133、39×3+35=152的最大公因數，這樣才能保證它與那兩個分數分別相乘的兩個積互質。

再看與 ：

。

    不難看出，這兩個分數的分母的最小公倍數是78，分子的最大公因數是19。

因此得到：A=78/19。

    可檢驗：

，

。

完全符合題意。

試一試

    用長、寬、高分別為4釐米，4釐米，5釐米的長方體積木拼一個正方體，至少需要這樣的積木多少塊？

      至少需要多少塊積木，其實就是要使正方體的稜長儘可能小。

      拼出的正方體的稜長應該是4釐米、4釐米、5釐米的最小公倍數，即20釐米。那麼，這個正方體需要積木的塊數是：（20÷5）×（20÷4）×（20÷4）=100塊。